$\log_2 81 \times \log_3 25 \times \log_5 8$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\log_2 81 \times \log_3 25 \times \log_5 8$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数を計算しやすい形に変形します。

$81 = 3^4$, $25 = 5^2$, $8 = 2^3$ であることを利用します。

$\log_2 81 = \log_2 3^4 = 4 \log_2 3$

$\log_3 25 = \log_3 5^2 = 2 \log_3 5$

$\log_5 8 = \log_5 2^3 = 3 \log_5 2$

したがって、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$4 \log_2 3 \times 2 \log_3 5 \times 3 \log_5 2$

係数をまとめると、

$4 \times 2 \times 3 \times \log_2 3 \times \log_3 5 \times \log_5 2 = 24 \times \log_2 3 \times \log_3 5 \times \log_5 2$

対数の底の変換公式 $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ を用います。

$\log_2 3 \times \log_3 5 \times \log_5 2 = \frac{\log 3}{\log 2} \times \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{\log 2}{\log 5}$

分子と分母で同じものが現れるので、約分できます。

$\frac{\log 3}{\log 2} \times \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{\log 2}{\log 5} = 1$

したがって、

$24 \times \log_2 3 \times \log_3 5 \times \log_5 2 = 24 \times 1 = 24$

3. 最終的な答え

24