$a$ を正の定数とする。不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $|x-2| < a$ を解きます。絶対値の不等式より、

$$-a < x-2 < a$$

各辺に2を足すと、

$$2-a < x < 2+a$$

この不等式を満たす整数 $x$ が5個存在するという条件から、$a$ の範囲を求めます。

整数 $x$ は $2-a$ より大きく、$2+a$ より小さいので、$x$ は $2$ の周りに存在します。

$x$ が5個の整数を含む場合、それらは $2, 1, 3, 0, 4$ である必要があります。

したがって、

$x = 0, 1, 2, 3, 4$

これらの値が $2-a < x < 2+a$ を満たすように $a$ を決定します。

最小の整数は0、最大の整数は4なので、

$2-a < 0$ かつ $4 < 2+a$

$a > 2$ かつ $a > 2$

したがって、$a > 2$

また、整数が5個であるためには、$x=-1$ や $x=5$ が不等式を満たしてはいけません。つまり、

$2-a \geq -1$ かつ $2+a \leq 5$　は成り立たない必要があります。

$2-a < -1$ かつ $2+a > 5$

$3 < a$ かつ $a > 3$

しかし、

$2-a < 0 \leq 2-a+1$　より　 $2-a < 0$ なら $a>2$

$4 \leq 2+a < 5$ より $a<3$

$2-a < x < 2+a$ を満たす整数がちょうど5個になる条件を考える。

$x$ の整数値が $2-2=0, 1, 2, 3, 4 = 2+2$ となる場合、 $0, 1, 2, 3, 4$ が不等式を満たす必要があります。

この時、$2-a < 0 \leq 1 \leq 2 \leq 3 \leq 4 < 2+a$

$x$ が 5 個の整数を含むとき、$2-a$ は $-1$ 以上でなければならず、$2+a$ は 5 以下でなければなりません。

したがって、$2-a \geq -1$ と $2+a \leq 5$ は成立しなければなりません。

$2+1 \geq a$ より $3 \geq a$

$a \leq 3$

しかし、$-1 < 2-a$ かつ $2+a < 5$ とすると、

$2 < a \leq 3$ となります。もし $a=3$ の場合、$2-3 < x < 2+3$ となり、$-1 < x < 5$ となり、 $x=0, 1, 2, 3, 4$ となり、5個の整数を持ちます。

もし、$a=2$ の場合、$2-2 < x < 2+2$ となり、$0 < x < 4$ となり、$x=1, 2, 3$ となり、3個の整数となります。

したがって、$2 < a \leq 3$ となります。

不等式 $2-a < x < 2+a$ を満たす整数 $x$ が5個存在するのは、

$x = 2-2, 2-1, 2, 2+1, 2+2$ すなわち $0, 1, 2, 3, 4$ の時である。

したがって、

$2-a < 0$ かつ $4 < 2+a$ が必要である。

さらに、 $2-a \geq -1$ かつ $2+a \leq 5$ である必要がある。

したがって、$2-a < 0 \leq 1 \leq 2 \leq 3 \leq 4 < 2+a$

$2-a < 0$ より $a>2$

$4 < 2+a$ より $2 < a$

$2-a < -1$ とならないためには $2-a \geq -1$ でなければならない。

$2+a > 4$ とならないためには $2+a \leq 5$ でなければならない。

$2+1>a$ より $a < 3$

$3<a$ となるのは　 $a \leq 3$

$-1 \le 2 - a < 0$

$4 < 2 + a \le 5$

$2 < a \le 3$

3. 最終的な答え

$2 < a \leq 3$