与えられた数式の値を求める問題です。数式は $\frac{4}{5}\log_{10}32 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は

$\frac{4}{5}\log_{10}32 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15}$

です。

2. 解き方の手順

まず、$32 = 2^5$ と $8 = 2^3$ であることを利用し、対数の性質を用いて式を整理します。

$\frac{4}{5}\log_{10}32 = \frac{4}{5}\log_{10}2^5 = \frac{4}{5} \cdot 5 \log_{10}2 = 4\log_{10}2$

次に、対数の性質 $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ と $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$ を用いて、式を一つにまとめます。

$4\log_{10}2 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15} = \log_{10}2^4 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15} = \log_{10}16 + \log_{10}\frac{1}{3} - \log_{10}\frac{8}{15}$

$= \log_{10}(16 \cdot \frac{1}{3}) - \log_{10}\frac{8}{15} = \log_{10}\frac{16}{3} - \log_{10}\frac{8}{15} = \log_{10}(\frac{16}{3} \div \frac{8}{15}) = \log_{10}(\frac{16}{3} \cdot \frac{15}{8})$

$= \log_{10}(\frac{16 \cdot 15}{3 \cdot 8}) = \log_{10}(\frac{2 \cdot 5}{1}) = \log_{10}10 = 1$

3. 最終的な答え

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