80円のクッキー、50円のチョコレート、10円のキャンディーを組み合わせて300円にする組み合わせの数を求める問題です。ただし、どの菓子も少なくとも1つは含まれている必要があります。

1. 問題の内容

80円のクッキー、50円のチョコレート、10円のキャンディーを組み合わせて300円にする組み合わせの数を求める問題です。ただし、どの菓子も少なくとも1つは含まれている必要があります。

2. 解き方の手順

クッキーの数を $x$、チョコレートの数を $y$、キャンディーの数を $z$ とします。

このとき、次の式が成り立ちます。

$80x + 50y + 10z = 300$

両辺を10で割ると、

$8x + 5y + z = 30$

また、$x, y, z$ は全て正の整数であるという条件があります。

$z$ について解くと、

$z = 30 - 8x - 5y$

$x, y, z \ge 1$ より、$z \ge 1$ なので、

$30 - 8x - 5y \ge 1$

$8x + 5y \le 29$

$x$ の値で場合分けをして、$y$ の取りうる値を考えます。

* $x = 1$ のとき、$8 + 5y \le 29$ より、$5y \le 21$。 $y$ は正の整数なので、$y = 1, 2, 3, 4$。

* $x = 2$ のとき、$16 + 5y \le 29$ より、$5y \le 13$。$y$ は正の整数なので、$y = 1, 2$。

* $x = 3$ のとき、$24 + 5y \le 29$ より、$5y \le 5$。$y$ は正の整数なので、$y = 1$。

それぞれの $x, y$ の組み合わせに対して $z$ の値を計算します。

* $x=1, y=1$ のとき、$z = 30 - 8(1) - 5(1) = 30 - 8 - 5 = 17$

* $x=1, y=2$ のとき、$z = 30 - 8(1) - 5(2) = 30 - 8 - 10 = 12$

* $x=1, y=3$ のとき、$z = 30 - 8(1) - 5(3) = 30 - 8 - 15 = 7$

* $x=1, y=4$ のとき、$z = 30 - 8(1) - 5(4) = 30 - 8 - 20 = 2$

* $x=2, y=1$ のとき、$z = 30 - 8(2) - 5(1) = 30 - 16 - 5 = 9$

* $x=2, y=2$ のとき、$z = 30 - 8(2) - 5(2) = 30 - 16 - 10 = 4$

* $x=3, y=1$ のとき、$z = 30 - 8(3) - 5(1) = 30 - 24 - 5 = 1$

$z$ は全て正の整数なので、上記の組み合わせは全て条件を満たします。

組み合わせの数は、4 + 2 + 1 = 7 通りです。

3. 最終的な答え

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