与えられた条件を満たすように、定数 $c$ の値を求める問題です。 (1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ ($ -2 \le x \le 0$) の最大値が $5$ である。 (2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($ 1 \le x \le 4$) の最小値が $-7$ である。

代数学二次関数最大値最小値平方完成定義域
2025/6/10

1. 問題の内容

与えられた条件を満たすように、定数 cc の値を求める問題です。
(1) 関数 y=x22x+cy = x^2 - 2x + c (2x0 -2 \le x \le 0) の最大値が 55 である。
(2) 関数 y=x2+6x+cy = -x^2 + 6x + c (1x4 1 \le x \le 4) の最小値が 7-7 である。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 y=x22x+cy = x^2 - 2x + c を平方完成します。
y=(x1)21+cy = (x - 1)^2 - 1 + c
このグラフは下に凸な放物線であり、軸は x=1x = 1 です。
定義域は 2x0-2 \le x \le 0 であるため、x=2x = -2 のときに最大値を取ります。
x=2x = -2 を代入すると、y=(2)22(2)+c=4+4+c=8+cy = (-2)^2 - 2(-2) + c = 4 + 4 + c = 8 + c
最大値が 55 であるから、8+c=58 + c = 5 より c=3c = -3
(2) 次に、与えられた関数 y=x2+6x+cy = -x^2 + 6x + c を平方完成します。
y=(x3)2+9+cy = -(x - 3)^2 + 9 + c
このグラフは上に凸な放物線であり、軸は x=3x = 3 です。
定義域は 1x41 \le x \le 4 であるため、x=3x = 3 のときに最大値を、区間の端点で最小値を取ります。
x=1x = 1 を代入すると、y=(13)2+9+c=4+9+c=5+cy = -(1 - 3)^2 + 9 + c = -4 + 9 + c = 5 + c
x=4x = 4 を代入すると、y=(43)2+9+c=1+9+c=8+cy = -(4 - 3)^2 + 9 + c = -1 + 9 + c = 8 + c
5+c<8+c5 + c < 8 + c より、x=1x=1で最小値を取ることがわかります。
最小値が 7-7 であるから、5+c=75 + c = -7 より c=12c = -12

3. 最終的な答え

(1) c=3c = -3
(2) c=12c = -12

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