$A$ を3次正方行列とする。このとき、以下の公式が成り立つことを証明する。 $\det(A - xI_3) = -x^3 + \text{tr}(A)x^2 - \text{tr}(\tilde{A})x + \det(A)$ ただし、$I_3$は3次単位行列、$\text{tr}(A)$は$A$のトレース、$\tilde{A}$は$A$の余因子行列である。

1. 問題の内容

$A$ を3次正方行列とする。このとき、以下の公式が成り立つことを証明する。

$\det(A - xI_3) = -x^3 + \text{tr}(A)x^2 - \text{tr}(\tilde{A})x + \det(A)$

ただし、$I_3$は3次単位行列、$\text{tr}(A)$は$A$のトレース、$\tilde{A}$は$A$の余因子行列である。

2. 解き方の手順

まず、$A$ を具体的な3次正方行列として表現する。

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

次に、$A - xI_3$ を計算する。

$A - xI_3 = \begin{pmatrix} a_{11} - x & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - x & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} - x \end{pmatrix}$

次に、$\det(A - xI_3)$ を計算する。

$\det(A - xI_3) = (a_{11} - x)((a_{22} - x)(a_{33} - x) - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}(a_{33} - x) - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - (a_{22} - x)a_{31})$

これを展開して整理すると、

$\det(A - xI_3) = -x^3 + (a_{11} + a_{22} + a_{33})x^2 - (a_{11}a_{22} + a_{11}a_{33} + a_{22}a_{33} - a_{12}a_{21} - a_{13}a_{31} - a_{23}a_{32})x + (a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}))$

ここで、$\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$ である。また、$\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$ である。

次に、$\text{tr}(\tilde{A})$を計算する。余因子行列 $\tilde{A}$ の対角成分は、それぞれ以下のようになる。

$\tilde{a}_{11} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$

$\tilde{a}_{22} = a_{11}a_{33} - a_{13}a_{31}$

$\tilde{a}_{33} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

よって、$\text{tr}(\tilde{A}) = \tilde{a}_{11} + \tilde{a}_{22} + \tilde{a}_{33} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} + a_{11}a_{33} - a_{13}a_{31} + a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} + a_{11}a_{33} + a_{22}a_{33} - a_{12}a_{21} - a_{13}a_{31} - a_{23}a_{32}$

したがって、$\det(A - xI_3) = -x^3 + \text{tr}(A)x^2 - \text{tr}(\tilde{A})x + \det(A)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\det(A - xI_3) = -x^3 + \text{tr}(A)x^2 - \text{tr}(\tilde{A})x + \det(A)$