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与えられた連立一次方程式 (E) ``` 3x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4 = -2 x_1 + x_2 + 3x_3 + 4x_4 = -6 x_1 + 2x_2 + 4x_3 + x_4 = -8 ``` について、以下の問いに答えます。 問1: 拡大係数行列を書く 問2: 拡大係数行列を簡約化する 問3: 解があれば一つ例示する 問4: 同次形の連立一次方程式の解をすべて求める 問5: 解の種類を判定する (解を持たない、唯一の解、無限個の解) 問6: 連立一次方程式 (E) を解く

代数学連立一次方程式行列拡大係数行列ガウスの消去法線形代数解の存在自由変数
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式 (E)
```
3x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4 = -2
x_1 + x_2 + 3x_3 + 4x_4 = -6
x_1 + 2x_2 + 4x_3 + x_4 = -8
```
について、以下の問いに答えます。
問1: 拡大係数行列を書く
問2: 拡大係数行列を簡約化する
問3: 解があれば一つ例示する
問4: 同次形の連立一次方程式の解をすべて求める
問5: 解の種類を判定する (解を持たない、唯一の解、無限個の解)
問6: 連立一次方程式 (E) を解く

2. 解き方の手順

問1: 拡大係数行列
与えられた連立一次方程式の係数と定数項を並べて、拡大係数行列を作成します。
```
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 3 & -2 & -2 \\
1 & 1 & 3 & 4 & -6 \\
1 & 2 & 4 & 1 & -8
\end{bmatrix}
```
問2: 拡大係数行列の簡約化
拡大係数行列を行基本変形を用いて簡約化します。
まず、1行目と2行目を入れ替えます。
```
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 & 4 & -6 \\
3 & 1 & 3 & -2 & -2 \\
1 & 2 & 4 & 1 & -8
\end{bmatrix}
```
次に、2行目から1行目の3倍を引きます。また、3行目から1行目を引きます。
```
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 & 4 & -6 \\
0 & -2 & -6 & -14 & 16 \\
0 & 1 & 1 & -3 & -2
\end{bmatrix}
```
次に、2行目を-2で割ります。
```
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 & 4 & -6 \\
0 & 1 & 3 & 7 & -8 \\
0 & 1 & 1 & -3 & -2
\end{bmatrix}
```
次に、1行目から2行目を引きます。また、3行目から2行目を引きます。
```
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 7 & -8 \\
0 & 0 & -2 & -10 & 6
\end{bmatrix}
```
次に、3行目を-2で割ります。
```
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 7 & -8 \\
0 & 0 & 1 & 5 & -3
\end{bmatrix}
```
次に、2行目から3行目の3倍を引きます。
```
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & 2 \\
0 & 1 & 0 & -8 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5 & -3
\end{bmatrix}
```
したがって、簡約化された拡大係数行列は次のようになります。
```
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & 2 \\
0 & 1 & 0 & -8 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5 & -3
\end{bmatrix}
```
問3: 解の例
簡約化された拡大係数行列から、
x1−3x4=2x_1 - 3x_4 = 2
x2−8x4=1x_2 - 8x_4 = 1
x3+5x4=−3x_3 + 5x_4 = -3
が得られます。x4=0x_4 = 0とすると、x1=2x_1 = 2, x2=1x_2 = 1, x3=−3x_3 = -3となります。
したがって、(x1,x2,x3,x4)=(2,1,−3,0)(x_1, x_2, x_3, x_4) = (2, 1, -3, 0)は解の一つです。
問4: 同次形の連立一次方程式の解
同次形の方程式は
3x1+x2+3x3−2x4=03x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4 = 0
x1+x2+3x3+4x4=0x_1 + x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0
x1+2x2+4x3+x4=0x_1 + 2x_2 + 4x_3 + x_4 = 0
これに対応する拡大係数行列を簡約化すると
```
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 0 & -8 \\
0 & 0 & 1 & 5
\end{bmatrix}
```
となります。したがって、
x1=3x4x_1 = 3x_4
x2=8x4x_2 = 8x_4
x3=−5x4x_3 = -5x_4
x4=x4x_4 = x_4
したがって、解は(x1,x2,x3,x4)=(3x4,8x4,−5x4,x4)=x4(3,8,−5,1)(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_4, 8x_4, -5x_4, x_4) = x_4(3, 8, -5, 1)と表されます。
問5: 解の種類
簡約化された拡大係数行列から、変数のうち x4x_4 が自由変数であることがわかります。したがって、解は無数に存在します。
問6: 連立一次方程式 (E) の解
簡約化された拡大係数行列から、
x1=3x4+2x_1 = 3x_4 + 2
x2=8x4+1x_2 = 8x_4 + 1
x3=−5x4−3x_3 = -5x_4 - 3
x4=x4x_4 = x_4
したがって、解は(x1,x2,x3,x4)=(3x4+2,8x4+1,−5x4−3,x4)(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_4 + 2, 8x_4 + 1, -5x_4 - 3, x_4)と表されます。

3. 最終的な答え

問1: 拡大係数行列
```
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 3 & -2 & -2 \\
1 & 1 & 3 & 4 & -6 \\
1 & 2 & 4 & 1 & -8
\end{bmatrix}
```
問2: 簡約化された拡大係数行列
```
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & 2 \\
0 & 1 & 0 & -8 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5 & -3
\end{bmatrix}
```
問3: 解の例
(x1,x2,x3,x4)=(2,1,−3,0)(x_1, x_2, x_3, x_4) = (2, 1, -3, 0)
問4: 同次形の連立一次方程式の解
(x1,x2,x3,x4)=x4(3,8,−5,1)(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_4(3, 8, -5, 1)
問5: 解の種類
解は無数に存在する
問6: 連立一次方程式 (E) の解
(x1,x2,x3,x4)=(3x4+2,8x4+1,−5x4−3,x4)(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_4 + 2, 8x_4 + 1, -5x_4 - 3, x_4)

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