等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_3=5$、$a_1 + a_4 = 9$を満たしている。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求める。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} (a_k - 2)(a_k - 1)$ ($n=1,2,3,\dots$) とするとき、$S_n$ を $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_3=5$、$a_1 + a_4 = 9$を満たしている。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求める。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} (a_k - 2)(a_k - 1)$ ($n=1,2,3,\dots$) とするとき、$S_n$ を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$、公差を $d$ とする。

等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ で表される。

$a_3 = a + 2d = 5$

$a_1 + a_4 = a + (a + 3d) = 2a + 3d = 9$

これら二つの式から $a$ と $d$ を求める。

$2(a+2d) = 2(5)$ より $2a+4d=10$

$(2a+4d) - (2a+3d) = 10 - 9$ より $d=1$

$a+2d=5$ に $d=1$ を代入して $a+2(1)=5$ より $a=3$

よって、初項は3、公差は1である。

(2) $a_k = a + (k-1)d = 3 + (k-1)(1) = k+2$

$(a_k - 2)(a_k - 1) = (k+2 - 2)(k+2-1) = k(k+1) = k^2 + k$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 3, 公差: 1

(2) $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$