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与えられた連立一次方程式の解を求め、パラメータ $s$ と $t$ を用いて一般解を表現する問題です。具体的には、以下の連立一次方程式を解きます。 $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 0 & -5 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & -2 & -3 \\ -2 & -10 & 1 & 13 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -5 \\ 11 \end{bmatrix}$ 解は、以下の形式で表現されます。 $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ? \\ ? \\ ? \\ ? \\ ? \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} ? \\ ? \\ ? \\ ? \\ ? \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} ? \\ ? \\ ? \\ ? \\ ? \end{bmatrix}$ ここで $s, t \in \mathbb{R}$ です。

代数学線形代数連立一次方程式行列行基本変形一般解
2025/6/13

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求め、パラメータ ss と tt を用いて一般解を表現する問題です。具体的には、以下の連立一次方程式を解きます。
$\begin{bmatrix}
1 & 5 & 0 & -5 & 0 \\
1 & 5 & 1 & -2 & -3 \\
-2 & -10 & 1 & 13 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
-5 \\ -5 \\ 11
\end{bmatrix}$
解は、以下の形式で表現されます。
[x1x2x3x4x5]=[?????]+s[?????]+t[?????]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ? \\ ? \\ ? \\ ? \\ ? \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} ? \\ ? \\ ? \\ ? \\ ? \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} ? \\ ? \\ ? \\ ? \\ ? \end{bmatrix}
ここで s,t∈Rs, t \in \mathbb{R} です。

2. 解き方の手順

まず、拡大係数行列を作成します。
$\begin{bmatrix}
1 & 5 & 0 & -5 & 0 & | & -5 \\
1 & 5 & 1 & -2 & -3 & | & -5 \\
-2 & -10 & 1 & 13 & -2 & | & 11
\end{bmatrix}$
次に、行基本変形を行い、階段行列に変形します。
2行目から1行目を引きます（R2 -> R2 - R1）。
$\begin{bmatrix}
1 & 5 & 0 & -5 & 0 & | & -5 \\
0 & 0 & 1 & 3 & -3 & | & 0 \\
-2 & -10 & 1 & 13 & -2 & | & 11
\end{bmatrix}$
3行目に1行目の2倍を加えます (R3 -> R3 + 2*R1)。
$\begin{bmatrix}
1 & 5 & 0 & -5 & 0 & | & -5 \\
0 & 0 & 1 & 3 & -3 & | & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3 & -2 & | & 1
\end{bmatrix}$
3行目から2行目を引きます (R3 -> R3 - R2)。
$\begin{bmatrix}
1 & 5 & 0 & -5 & 0 & | & -5 \\
0 & 0 & 1 & 3 & -3 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1
\end{bmatrix}$
2行目に3行目の3倍を加えます (R2 -> R2 + 3*R3)。
$\begin{bmatrix}
1 & 5 & 0 & -5 & 0 & | & -5 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & | & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1
\end{bmatrix}$
これにより、以下の連立方程式が得られます。
x1+5x2−5x4=−5x_1 + 5x_2 - 5x_4 = -5
x3+3x4=3x_3 + 3x_4 = 3
x5=1x_5 = 1
x2=sx_2 = s, x4=tx_4 = t とおくと、x1=−5−5s+5tx_1 = -5 - 5s + 5t, x3=3−3tx_3 = 3 - 3t, x5=1x_5 = 1。
したがって、解は次のようになります。
[x1x2x3x4x5]=[−50301]+s[−51000]+t[50−310]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

[x1x2x3x4x5]=[−50301]+s[−51000]+t[50−310]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

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