与えられた対数の式を計算します。 式は $(\log_3 5 + \log_9 25)(\log_5 9 + \log_{25} 3)$ です。

はい、承知いたしました。問題文の OCR 結果に基づき、問題を解いていきます。

**問題 (2)**

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算します。

式は $(\log_3 5 + \log_9 25)(\log_5 9 + \log_{25} 3)$ です。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を変換して式を簡略化します。

$\log_9 25 = \frac{\log_3 25}{\log_3 9} = \frac{\log_3 5^2}{2} = \frac{2\log_3 5}{2} = \log_3 5$

$\log_{25} 3 = \frac{\log_5 3}{\log_5 25} = \frac{\log_5 3}{2}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$(\log_3 5 + \log_3 5)(\log_5 9 + \frac{1}{2} \log_5 3) = (2\log_3 5)(\log_5 3^2 + \frac{1}{2} \log_5 3)$

$= (2\log_3 5)(2\log_5 3 + \frac{1}{2} \log_5 3) = (2\log_3 5)(\frac{5}{2} \log_5 3)$

$= 5 (\log_3 5)(\log_5 3)$

対数の積を簡略化します。$\log_3 5 = \frac{\log 5}{\log 3}$ および $\log_5 3 = \frac{\log 3}{\log 5}$なので、

$(\log_3 5)(\log_5 3) = \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 3}{\log 5} = 1$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$5(\log_3 5)(\log_5 3) = 5 \cdot 1 = 5$

3. 最終的な答え

5

**問題 (4)**

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算します。

式は $\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\log_2 10$ と $\log_5 10$ を展開します。

$\log_2 10 = \log_2 (2 \cdot 5) = \log_2 2 + \log_2 5 = 1 + \log_2 5$

$\log_5 10 = \log_5 (5 \cdot 2) = \log_5 5 + \log_5 2 = 1 + \log_5 2$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$(1 + \log_2 5)(1 + \log_5 2) - (\log_2 5 + \log_5 2) = 1 + \log_5 2 + \log_2 5 + (\log_2 5)(\log_5 2) - \log_2 5 - \log_5 2$

$= 1 + (\log_2 5)(\log_5 2)$

$(\log_2 5)(\log_5 2) = \frac{\log 5}{\log 2} \cdot \frac{\log 2}{\log 5} = 1$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$1 + (\log_2 5)(\log_5 2) = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

2