放物線 $C: y = x^2 - 3x - 1$ と直線 $l: y = kx - (k^2 + 1)$ が異なる2点P, Qで交わるための $k$ の値の範囲を求め、線分PQの中点Mの座標を求め、さらに $k$ が変化するときの中点Mの軌跡の方程式とその $x$ 座標の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 3x - 1$ と直線 $l: y = kx - (k^2 + 1)$ が異なる2点P, Qで交わるための $k$ の値の範囲を求め、線分PQの中点Mの座標を求め、さらに $k$ が変化するときの中点Mの軌跡の方程式とその $x$ 座標の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 放物線と直線が異なる2点で交わる条件

$y = x^2 - 3x - 1$ と $y = kx - (k^2 + 1)$ を連立して $y$ を消去すると、

$x^2 - 3x - 1 = kx - (k^2 + 1)$

$x^2 - (3+k)x + k^2 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解をもつための条件は、判別式を$D$とすると、$D > 0$であること。

$D = (3+k)^2 - 4k^2 = 9 + 6k + k^2 - 4k^2 = -3k^2 + 6k + 9 = -3(k^2 - 2k - 3) = -3(k-3)(k+1) > 0$

$(k-3)(k+1) < 0$

$-1 < k < 3$

(2) 線分PQの中点Mの座標

2次方程式 $x^2 - (3+k)x + k^2 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = 3+k$

したがって、中点Mの$x$座標は

$x = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{3+k}{2}$

$k = 2x - 3$

中点Mの$y$座標は、$y = kx - (k^2 + 1)$ に $k = 2x - 3$を代入して

$y = (2x-3)x - ((2x-3)^2 + 1) = 2x^2 - 3x - (4x^2 - 12x + 9 + 1) = 2x^2 - 3x - 4x^2 + 12x - 10 = -2x^2 + 9x - 10$

(3) 中点Mの軌跡

$k$ の範囲は $-1 < k < 3$ であり、$k = 2x - 3$ より

$-1 < 2x - 3 < 3$

$2 < 2x < 6$

$1 < x < 3$

したがって、中点Mの軌跡は、$y = -2x^2 + 9x - 10$ ($1 < x < 3$)

3. 最終的な答え

$k$ の値の範囲: $-1 < k < 3$

中点Mの$x$座標: $\frac{3+k}{2}$

中点Mの$y$座標: $-2x^2 + 9x - 10$

中点Mの軌跡の方程式: $y = -2x^2 + 9x - 10$

$x$ の値の範囲: $1 < x < 3$