与えられた2次関数のグラフとx軸との共有点の個数と、共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフとx軸との共有点の個数と、共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフとx軸との共有点の個数は、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数と一致します。判別式 $D=b^2-4ac$ を用いて、

- $D>0$ のとき、共有点は2個

- $D=0$ のとき、共有点は1個

- $D<0$ のとき、共有点は0個

となります。共有点の座標は、2次方程式の実数解を求めれば分かります。

(2) $y=6x^2-5x+1$

2次方程式 $6x^2-5x+1=0$ の判別式 $D$ は、

$D=(-5)^2-4\times6\times1 = 25-24=1>0$

したがって、共有点は2個です。

$6x^2-5x+1=(2x-1)(3x-1)=0$

$x=\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$

共有点の座標は $(\frac{1}{2}, 0)$, $(\frac{1}{3}, 0)$

(4) $y=-10x^2-7x-3$

2次方程式 $-10x^2-7x-3=0$ の判別式 $D$ は、

$D=(-7)^2-4\times(-10)\times(-3) = 49-120=-71<0$

したがって、共有点は0個です。

3. 最終的な答え

(2) 共有点の個数: 2個, 座標: $(\frac{1}{2}, 0)$, $(\frac{1}{3}, 0)$

(4) 共有点の個数: 0個