(1) $x$ の方程式 $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ が重解を持つとき、定数 $a$ の値を求める。 (3) $x$ の方程式 $ax^2 - (2a - 1)x + a = 0$ が実数解を持つとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x$ の方程式 $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ が重解を持つとき、定数 $a$ の値を求める。

(3) $x$ の方程式 $ax^2 - (2a - 1)x + a = 0$ が実数解を持つとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ である。

この問題の場合、$a = 1$, $b = 2a$, $c = a + 2$ なので、判別式は

$D = (2a)^2 - 4(1)(a + 2) = 4a^2 - 4a - 8 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

$a = 2, -1$

(3)

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が実数解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac \geq 0$ である。ただし、$a=0$ の場合は一次方程式になり、実数解を持つかを別途検討する必要がある。

この問題の場合、$ax^2 - (2a - 1)x + a = 0$ なので、$b = -(2a - 1)$, $c = a$ である。

判別式は

$D = (-(2a - 1))^2 - 4(a)(a) = (2a - 1)^2 - 4a^2 = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 = -4a + 1$

$D \geq 0$ より

$-4a + 1 \geq 0$

$4a \leq 1$

$a \leq \frac{1}{4}$

次に、$a = 0$ の場合を考える。

$ax^2 - (2a - 1)x + a = 0$ に $a = 0$ を代入すると、

$0x^2 - (2(0) - 1)x + 0 = 0$

$x = 0$

これは実数解を持つ。

したがって、$a \leq \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, -1$

(3) $a \leq \frac{1}{4}$