与えられた関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) - 1$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) - 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 - 2x$ と置換します。

すると、関数は $y = t^2 + 4t - 1$ となります。

次に、この式を平方完成します。

$y = t^2 + 4t + 4 - 4 - 1 = (t + 2)^2 - 5$

ここで、$t$ を元に戻します。

$y = (x^2 - 2x + 2)^2 - 5$

$x^2 - 2x + 2$ の部分を平方完成します。

$x^2 - 2x + 2 = x^2 - 2x + 1 + 1 = (x - 1)^2 + 1$

したがって、$y = ((x - 1)^2 + 1)^2 - 5$ となります。

展開して整理します。

$y = ((x-1)^2)^2 + 2(x-1)^2 + 1 - 5$

$y = (x-1)^4 + 2(x-1)^2 - 4$

$y = (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) + 2(x^2 - 2x + 1) - 4$

$y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 + 2x^2 - 4x + 2 - 4$

$y = x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 8x - 1$

3. 最終的な答え

$y = x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 8x - 1$