$\mathbb{R}^3$ において、与えられたベクトルが一次独立か一次従属かを調べる問題です。具体的には、以下の3つの場合について判定します。 (a) $\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ (b) $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}$ (c) $\mathbf{c}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c}_3 = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c}_4 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$ において、与えられたベクトルが一次独立か一次従属かを調べる問題です。具体的には、以下の3つの場合について判定します。

(a) $\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

(b) $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}$

(c) $\mathbf{c}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c}_3 = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c}_4 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(a) 3つのベクトル $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ が一次独立かどうかを判定します。これらを列ベクトルとする行列を作り、その行列式を計算します。行列式が0でなければ一次独立、0ならば一次従属です。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

$\det(A) = 1(5 \cdot 2 - 3 \cdot 3) - 3(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) + 1(2 \cdot 3 - 5 \cdot 1) = 1(10 - 9) - 3(4 - 3) + 1(6 - 5) = 1 - 3 + 1 = -1$

行列式が-1なので、一次独立です。

(b) 3つのベクトル $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3$ が一次独立かどうかを判定します。これらを列ベクトルとする行列を作り、その行列式を計算します。行列式が0でなければ一次独立、0ならば一次従属です。

$B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 7 & 5 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$

$\det(B) = 1(7 \cdot 3 - 5 \cdot 4) - 3(3 \cdot 3 - 5 \cdot 2) + 2(3 \cdot 4 - 7 \cdot 2) = 1(21 - 20) - 3(9 - 10) + 2(12 - 14) = 1 + 3 - 4 = 0$

行列式が0なので、一次従属です。

(c) 4つのベクトル $\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \mathbf{c}_3, \mathbf{c}_4$ が $\mathbb{R}^3$ に存在する場合、4つのベクトルは必ず一次従属になります。なぜなら、$\mathbb{R}^3$の基底は3つのベクトルで構成できるからです。したがって、4つのベクトルは必ず線形結合で表せるため、一次従属です。

3. 最終的な答え

(a) 一次独立

(b) 一次従属

(c) 一次従属