$\mathbb{R}^3$ において、与えられたベクトルが線形独立か線形従属かを調べる問題です。具体的には、(a), (b), (c), (d)の各セットに対して、ベクトルが線形独立であるか、線形従属であるかを判断します。(c) のみ $\mathbb{R}^3$のベクトルが4つ与えられています。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$ において、与えられたベクトルが線形独立か線形従属かを調べる問題です。具体的には、(a), (b), (c), (d)の各セットに対して、ベクトルが線形独立であるか、線形従属であるかを判断します。(c) のみ $\mathbb{R}^3$のベクトルが4つ与えられています。

2. 解き方の手順

線形独立性を調べるには、与えられたベクトルを列ベクトルとして並べた行列を作り、その行列のランクを計算します。

* もし行列が正方行列（行数と列数が同じ）であるならば、行列式を計算することで線形独立性を判断できます。行列式が0でなければ線形独立、0ならば線形従属です。

* 行列が正方行列でない場合や、ランクを直接計算する場合は、行列を階段行列に変形し、非ゼロの行の数を数えることでランクを求めます。ランクが列の数と一致すれば線形独立、そうでなければ線形従属です。

* (c)のようにベクトルが4つ与えられた場合、$\mathbb{R}^3$のベクトルは3つまでしか線形独立になりえないので、与えられたベクトルは線形従属になります。

(a)

行列 $A$ を以下のように定義します。

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 3 & 1 \\

2 & 5 & 3 \\

1 & 3 & 2

\end{bmatrix}

$$

行列式を計算します。

$$

\det(A) = 1(5 \cdot 2 - 3 \cdot 3) - 3(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) + 1(2 \cdot 3 - 5 \cdot 1) = 1(10 - 9) - 3(4 - 3) + 1(6 - 5) = 1 - 3 + 1 = -1

$$

$\det(A) = -1 \neq 0$ なので、ベクトルは線形独立です。

(b)

行列 $B$ を以下のように定義します。

$$

B = \begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 \\

3 & 7 & 5 \\

2 & 4 & 3

\end{bmatrix}

$$

行列式を計算します。

$$

\det(B) = 1(7 \cdot 3 - 5 \cdot 4) - 3(3 \cdot 3 - 5 \cdot 2) + 2(3 \cdot 4 - 7 \cdot 2) = 1(21 - 20) - 3(9 - 10) + 2(12 - 14) = 1 + 3 - 4 = 0

$$

$\det(B) = 0$ なので、ベクトルは線形従属です。

(c)

$\mathbb{R}^3$のベクトルが4つあるので、線形従属です。

(d)

行列 $D$ を以下のように定義します。

$$

D = \begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 2 \\

1 & 2 & 1

\end{bmatrix}

$$

行列式を計算します。

$$

\det(D) = 2(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 1(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = 2(1 - 4) - 1(1 - 2) + 1(2 - 1) = 2(-3) - (-1) + 1 = -6 + 1 + 1 = -4

$$

$\det(D) = -4 \neq 0$ なので、ベクトルは線形独立です。

3. 最終的な答え

(a) 線形独立

(b) 線形従属

(c) 線形従属

(d) 線形独立