色の異なる11個の玉を、3個、3個、5個のグループに分ける場合の数を求めます。

1. 問題の内容

色の異なる11個の玉を、3個、3個、5個のグループに分ける場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、11個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは、組み合わせの公式を用いて、$_{11}C_3$ で表されます。

$$_{11}C_3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$$

次に、残りの8個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは、$_{8}C_3$ で表されます。

$$_{8}C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

最後に、残りの5個の玉から5個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは、$_{5}C_5$ で表されます。

$$_{5}C_5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = 1$$

したがって、11個の玉を3個、3個、5個に分ける場合の数は、

$165 \times 56 \times 1 = 9240$ となります。

ただし、3個のグループが2つあるため、この2つのグループの並び順を考慮する必要があります。同じ個数のグループが複数ある場合、それらのグループの並び順を区別しないようにするために、グループの個数の階乗で割る必要があります。今回は3個のグループが2つあるので、2! で割ります。

$$\frac{165 \times 56 \times 1}{2!} = \frac{9240}{2} = 4620$$

3. 最終的な答え

4620 通り