自然数 $n$ が $n$ 個ずつ続く数列がある。 (1) 自然数 $n$ が初めて現れるのは第何項か。 (2) 第100項を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ が $n$ 個ずつ続く数列がある。

(1) 自然数 $n$ が初めて現れるのは第何項か。

(2) 第100項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 自然数 $n$ が初めて現れる項数を求める。

数列の最初の $n-1$ 個の項数の合計に1を足すと、自然数 $n$ が初めて現れる項数がわかる。最初の $n-1$ 個の項数の合計は $1 + 2 + 3 + \dots + (n-1)$ である。これは等差数列の和であり、$\frac{(n-1)n}{2}$ と表せる。したがって、自然数 $n$ が初めて現れるのは $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 項である。

(2) 第100項を求める。

第100項がどの自然数に対応するかを調べる。自然数 $k$ が $k$ 個並ぶ数列において、自然数 $k$ が最後に現れる項数は $1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$ である。

$\frac{k(k+1)}{2} \le 100$ となる最大の $k$ を探す。

$k(k+1) \le 200$

$k = 13$ のとき、$13 \times 14 = 182 \le 200$

$k = 14$ のとき、$14 \times 15 = 210 > 200$

したがって、$k = 13$ である。

$\frac{13 \times 14}{2} = 91$ より、第91項は13である。

したがって、第92項から第105項までは14である。

よって、第100項は14である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(n-1)n}{2} + 1$

(2) 14