8人の生徒を、A, B, Cの3つのグループに、それぞれ2人、2人、4人に分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

8人の生徒を、A, B, Cの3つのグループに、それぞれ2人、2人、4人に分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、8人の中からAグループの2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは$_{8}C_{2}$で表されます。

$_{8}C_{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

次に、残りの6人の中からBグループの2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは$_{6}C_{2}$で表されます。

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

最後に、残りの4人は自動的にCグループに入ります。これは$_{4}C_{4}$ですが、これは1通りです。

組み合わせの総数は、それぞれのグループの選び方の積になります。ただし、AとBは人数が同じであるため、AとBの選び方を入れ替えても同じグループ分けになるので、2!で割る必要があります。

したがって、

$\frac{_{8}C_{2} \times _{6}C_{2} \times _{4}C_{4}}{2!} = \frac{28 \times 15 \times 1}{2} = \frac{420}{2} = 210$

3. 最終的な答え

210通り