問題文には3つの数列 $S_1, S_2, S_3$ が定義されています。 $S_1$ は平方根を含む分数の和、 $S_2$ は自然数の和の逆数の和、 $S_3$ は奇数と5のべき乗の積の和で表されています。それぞれの数列の和を求める問題です。

1. 問題の内容

問題文には3つの数列 $S_1, S_2, S_3$ が定義されています。

$S_1$ は平方根を含む分数の和、 $S_2$ は自然数の和の逆数の和、 $S_3$ は奇数と5のべき乗の積の和で表されています。それぞれの数列の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S_1$ について考えます。各項を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{(\sqrt{2k+1} + \sqrt{2k-1})(\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1})} = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2k+1 - (2k-1)} = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2}$

したがって、

$S_1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2} = \frac{1}{2} (\sqrt{3}-\sqrt{1} + \sqrt{5}-\sqrt{3} + ... + \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})$

これはtelescoping sumなので、

$S_1 = \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - 1)$

次に、$S_2$について考えます。分母は自然数の和なので、$1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$ となります。したがって、

$S_2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+2+...+k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} = 2\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ なので、

$S_2 = 2\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 2(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 2(1 - \frac{1}{n+1}) = 2(\frac{n}{n+1}) = \frac{2n}{n+1}$

最後に、$S_3$について考えます。

$S_3 = 1\cdot 5^0 + 3\cdot 5^1 + 5\cdot 5^2 + ... + (2n-1) \cdot 5^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)5^{k-1}$

$S_3 = 1 + 3\cdot 5 + 5\cdot 5^2 + ... + (2n-1)5^{n-1}$

$5S_3 = 5 + 3\cdot 5^2 + ... + (2n-3)5^{n-1} + (2n-1)5^n$

$S_3 - 5S_3 = 1 + 2\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + ... + 2\cdot 5^{n-1} - (2n-1)5^n$

$-4S_3 = 1 + 2(5 + 5^2 + ... + 5^{n-1}) - (2n-1)5^n = 1 + 2\cdot \frac{5(5^{n-1}-1)}{5-1} - (2n-1)5^n = 1 + \frac{5}{2}(5^{n-1}-1) - (2n-1)5^n = 1 + \frac{1}{2}(5^n - 5) - (2n-1)5^n = \frac{-3}{2} - (2n-1 - \frac{1}{2})5^n = \frac{-3}{2} - (2n-\frac{3}{2})5^n$

$-4S_3 = -\frac{3}{2} - (2n-\frac{3}{2})5^n$

$S_3 = \frac{3}{8} + (\frac{n}{2} - \frac{3}{8})5^n = (\frac{4n-3}{8})5^n + \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

$S_1 = \frac{\sqrt{2n+1} - 1}{2}$

$S_2 = \frac{2n}{n+1}$

$S_3 = (\frac{4n-3}{8})5^n + \frac{3}{8}$