関数 $y = \frac{x^2}{\sqrt{2x-1}}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2}{\sqrt{2x-1}}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くためには、商の微分法則と合成関数の微分法則（チェーンルール）を使用します。

商の微分法則は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の導関数が $\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = x^2$、 $v(x) = \sqrt{2x-1}$ とします。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の導関数を求めます。

$u'(x) = 2x$

$v(x) = (2x-1)^{1/2}$ なので、合成関数の微分法則を使うと、

$v'(x) = \frac{1}{2}(2x-1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x-1)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$

次に、商の微分法則の公式に当てはめます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{2x\sqrt{2x-1} - x^2\frac{1}{\sqrt{2x-1}}}{(\sqrt{2x-1})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x\sqrt{2x-1} - \frac{x^2}{\sqrt{2x-1}}}{2x-1}$

分子を整理するために、分子全体に $\sqrt{2x-1}$ をかけます。分母にも同じく$\sqrt{2x-1}$をかけます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(2x-1) - x^2}{(2x-1)\sqrt{2x-1}} = \frac{4x^2 - 2x - x^2}{(2x-1)\sqrt{2x-1}} = \frac{3x^2 - 2x}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(3x - 2)}{(2x-1)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(3x-2)}{(2x-1)^{3/2}}$