与えられた3次式 $x^3 - 3x^2 + x + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 - 3x^2 + x + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

この3次式を因数定理を用いて因数分解します。

まず、$P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1$ とおきます。

$P(1) = 1^3 - 3(1^2) + 1 + 1 = 1 - 3 + 1 + 1 = 0$ となるので、$x - 1$ は $P(x)$ の因数です。

したがって、$x^3 - 3x^2 + x + 1$ を $x - 1$ で割ると、

$x^3 - 3x^2 + x + 1 = (x - 1)(x^2 - 2x - 1)$

となります。

次に、二次式 $x^2 - 2x - 1$ がさらに因数分解できるか確認します。

$x^2 - 2x - 1 = 0$ となる $x$ の値を求めると、解の公式より

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x^2 - 2x - 1 = (x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$ と因数分解できます。

よって、$x^3 - 3x^2 + x + 1 = (x - 1)(x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$ となります。

ただし、問題文の意図としては、$x^2 - 2x - 1$ までで良いと思われます。

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x^2 - 2x - 1)$