* (3) $\frac{\sqrt{6} + 4}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ * (5) $\sqrt{13 - 4\sqrt{10}}$ * (4) $\frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3}$ * (6) $\sqrt{4 + \sqrt{15}}$

## 問題

1. 次の式を簡単にせよ。根号の中は最も簡単な整数にし、分数になる場合は分母を有理化して答えること。

* (3) $\frac{\sqrt{6} + 4}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

* (5) $\sqrt{13 - 4\sqrt{10}}$

* (4) $\frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3}$

* (6) $\sqrt{4 + \sqrt{15}}$

2. $x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ のとき、次の式の値を求めよ。

* (7) $x^2 + y^2$

* (8) $\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x}$

3. $\frac{2}{7 - 3\sqrt{5}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とする。

* (9) $a$, $b$ をそれぞれ求めよ。

* (10) $b^2 + 5b$ の値を求めよ。

## 解き方の手順

**(3) $\frac{\sqrt{6} + 4}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$**

* 第一項を計算する: $\frac{\sqrt{6} + 4}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{4}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} + 2\sqrt{2}$

* 第二項を有理化する: $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

* 全体を計算する: $\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - (2 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{2} - 2$

**(5) $\sqrt{13 - 4\sqrt{10}}$**

* 根号の中を$(a - b)^2$の形に変形する。$13 - 4\sqrt{10} = (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = (2\sqrt{2} - \sqrt{5})^2$

* $\sqrt{(2\sqrt{2} - \sqrt{5})^2} = |2\sqrt{2} - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2\sqrt{2}$　（$2\sqrt{2}=\sqrt{8} < \sqrt{5}$なので、絶対値の中身は負)

**(4) $\frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3}$**

* 分母に$\sqrt{3}-\sqrt{6}+3$を掛けて有理化を行う:

$\frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{(\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3)(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)} = \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{(\sqrt{3}+3)^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{3+6\sqrt{3}+9-6}=\frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{6\sqrt{3}+6}=\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{3\sqrt{3}+3}=\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{3(\sqrt{3}+1)}$

* さらに分母に$\sqrt{3}-1$を掛けて有理化を行う:

$\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)(\sqrt{3}-1)}{3(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(3-\sqrt{3}-\sqrt{18}+\sqrt{6}+3\sqrt{3}-3)}{3(3-1)}=\frac{2(2\sqrt{3}-\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{6}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{3}$

**(6) $\sqrt{4 + \sqrt{15}}$**

* $\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ という公式を利用する。

* $a = 4, b = 15$ なので、$a^2 - b = 16 - 15 = 1$

* $\sqrt{4 + \sqrt{15}} = \sqrt{\frac{4 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{4 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

**(7) $x^2 + y^2$**

* $x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = 2 + \sqrt{3}$

* $y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$

* $x^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

* $y^2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

* $x^2 + y^2 = 7 + 4\sqrt{3} + 7 - 4\sqrt{3} = 14$

**(8) $\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x}$**

* $\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x} = \frac{x^4 - y^4}{xy} = \frac{(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)}{xy}$

* $x^2 + y^2 = 14$ (上記参照)

* $x^2 - y^2 = (7 + 4\sqrt{3}) - (7 - 4\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$

* $xy = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

* $\frac{(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)}{xy} = \frac{14 \cdot 8\sqrt{3}}{1} = 112\sqrt{3}$

**(9) $a$, $b$ をそれぞれ求めよ。**

* $\frac{2}{7 - 3\sqrt{5}} = \frac{2(7 + 3\sqrt{5})}{(7 - 3\sqrt{5})(7 + 3\sqrt{5})} = \frac{2(7 + 3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{2(7 + 3\sqrt{5})}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7 + \sqrt{45}}{2}$

* $\sqrt{36} < \sqrt{45} < \sqrt{49}$ より $6 < \sqrt{45} < 7$

* $13 < 7 + \sqrt{45} < 14$ なので、$\frac{13}{2} < \frac{7 + \sqrt{45}}{2} < \frac{14}{2}$、つまり $6.5 < \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} < 7$

* したがって、整数部分 $a = 6$

* 小数部分 $b = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} - 6 = \frac{7 + 3\sqrt{5} - 12}{2} = \frac{3\sqrt{5} - 5}{2}$

**(10) $b^2 + 5b$ の値を求めよ。**

* $b = \frac{3\sqrt{5} - 5}{2}$

* $b^2 = (\frac{3\sqrt{5} - 5}{2})^2 = \frac{45 - 30\sqrt{5} + 25}{4} = \frac{70 - 30\sqrt{5}}{4} = \frac{35 - 15\sqrt{5}}{2}$

* $5b = 5(\frac{3\sqrt{5} - 5}{2}) = \frac{15\sqrt{5} - 25}{2}$

* $b^2 + 5b = \frac{35 - 15\sqrt{5}}{2} + \frac{15\sqrt{5} - 25}{2} = \frac{35 - 25}{2} = \frac{10}{2} = 5$

## 最終的な答え

(3) $2\sqrt{2} - 2$

(5) $\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$

(4) $\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{3}$

(6) $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

(7) $14$

(8) $112\sqrt{3}$

(9) $a = 6$, $b = \frac{3\sqrt{5} - 5}{2}$

(10) $5$