与えられた数式の値を求める問題です。数式は $\frac{x^3+1}{\sqrt{x}+1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は $\frac{x^3+1}{\sqrt{x}+1}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分子の $x^3 + 1$ を因数分解します。これは和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を使って、$x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)$ となります。

次に、$\sqrt{x}$ を含む分母を有利化することを考えます。しかし、今回は分母が $\sqrt{x} + 1$ なので、分子の因数 $x+1$ との関連性を見つけます。

$x+1$ を $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$ と変形できます。

よって、$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 -x +1) = (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)(x^2-x+1)$

すると、

$\frac{x^3+1}{\sqrt{x}+1} = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)(x^2-x+1)}{\sqrt{x}+1} = (\sqrt{x}-1)(x^2-x+1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(\sqrt{x}-1)(x^2-x+1)$