与えられた画像に書かれている数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題を解きます。 (1) 0.027を既約分数で表す。 (2) 1.024を既約分数で表す。 (3) $\frac{\sqrt{6}+4}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2-\sqrt{3}}$を簡単にする。 (4) $\frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{6}+3}$を簡単にする。 (5) $\sqrt{13-4\sqrt{10}}$を簡単にする。 (6) $\sqrt{4+\sqrt{15}}$を簡単にする。 (7) $x=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$, $y=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$のとき、$x^2+y^2$の値を求める。 (8) $x=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$, $y=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$のとき、$\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x}$の値を求める。 (9) $\frac{2}{7-3\sqrt{5}}$の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、$a, b$をそれぞれ求める。 (10) $\frac{2}{7-3\sqrt{5}}$の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、$b^2+5b$の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた画像に書かれている数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題を解きます。

(1) 0.027を既約分数で表す。

(2) 1.024を既約分数で表す。

(3) $\frac{\sqrt{6}+4}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2-\sqrt{3}}$を簡単にする。

(4) $\frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{6}+3}$を簡単にする。

(5) $\sqrt{13-4\sqrt{10}}$を簡単にする。

(6) $\sqrt{4+\sqrt{15}}$を簡単にする。

(7) $x=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$, $y=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$のとき、$x^2+y^2$の値を求める。

(8) $x=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$, $y=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$のとき、$\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x}$の値を求める。

(9) $\frac{2}{7-3\sqrt{5}}$の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、$a, b$をそれぞれ求める。

(10) $\frac{2}{7-3\sqrt{5}}$の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、$b^2+5b$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $0.0\dot{2}\dot{7} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$

(2) $1.0\dot{2}\dot{4} = 1 + \frac{24}{99} = 1 + \frac{8}{33} = \frac{41}{33}$

(3) $\frac{\sqrt{6}+4}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \sqrt{3}+2\sqrt{2} - (2+\sqrt{3}) = 2\sqrt{2}-2$

(4) $\frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{6}+3} = \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{(\sqrt{3}+3)^2-6} = \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{3+6\sqrt{3}+9-6} = \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{6+6\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{3(1+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)(1-\sqrt{3})}{3(1-3)} = \frac{2(\sqrt{3}-3-\sqrt{6}+\sqrt{18}+3-3\sqrt{3})}{-6} = \frac{2(-2\sqrt{3}-\sqrt{6}+3\sqrt{2})}{-6} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{3}$

(5) $\sqrt{13-4\sqrt{10}} = \sqrt{13-2\sqrt{40}} = \sqrt{(8+5)-2\sqrt{8\cdot 5}} = \sqrt{(\sqrt{8}-\sqrt{5})^2} = \sqrt{8}-\sqrt{5} = 2\sqrt{2}-\sqrt{5}$

(6) $\sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(7) $x = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$, $y = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$.

$x^2 + y^2 = (2+\sqrt{3})^2 + (2-\sqrt{3})^2 = 4+4\sqrt{3}+3+4-4\sqrt{3}+3 = 14$

(8) $x = 2+\sqrt{3}$, $y=2-\sqrt{3}$

$x^3 = (2+\sqrt{3})^3 = 8+12\sqrt{3}+18+3\sqrt{3} = 26+15\sqrt{3}$

$y^3 = (2-\sqrt{3})^3 = 8-12\sqrt{3}+18-3\sqrt{3} = 26-15\sqrt{3}$

$\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x} = \frac{(26+15\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})} - \frac{(26-15\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})} = (26+15\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) - (26-15\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = (52+26\sqrt{3}+30\sqrt{3}+45) - (52-26\sqrt{3}-30\sqrt{3}+45) = 97+56\sqrt{3} - (97-56\sqrt{3}) = 112\sqrt{3}$

(9) $\frac{2}{7-3\sqrt{5}} = \frac{2(7+3\sqrt{5})}{49-45} = \frac{2(7+3\sqrt{5})}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{7+3 \times 2.236}{2} = \frac{7+6.708}{2} = \frac{13.708}{2} = 6.854$. よって、$a = 6$, $b = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} - 6 = \frac{7+3\sqrt{5}-12}{2} = \frac{3\sqrt{5}-5}{2}$

(10) $b^2+5b = (\frac{3\sqrt{5}-5}{2})^2 + 5(\frac{3\sqrt{5}-5}{2}) = \frac{45-30\sqrt{5}+25}{4} + \frac{15\sqrt{5}-25}{2} = \frac{70-30\sqrt{5}+30\sqrt{5}-50}{4} = \frac{20}{4}=5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{110}$

(2) $\frac{41}{33}$

(3) $2\sqrt{2}-2$

(4) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{3}$

(5) $2\sqrt{2}-\sqrt{5}$

(6) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(7) 14

(8) $112\sqrt{3}$

(9) $a = 6$, $b = \frac{3\sqrt{5}-5}{2}$

(10) 5