SENSEI AI
About App

与えられた行列が正則であるかどうかを判定し、正則であれば逆行列を求めます。 具体的には、以下の4つの行列に対して、逆行列を求めます。 1. $\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

代数学行列逆行列線形代数掃き出し法行列式
2025/6/12
はい、承知いたしました。与えられた行列の逆行列を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列が正則であるかどうかを判定し、正則であれば逆行列を求めます。
具体的には、以下の4つの行列に対して、逆行列を求めます。

1. $\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

3. $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

4. $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の逆行列
行列 A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} の逆行列は、行列式 det(A)=ad−bcdet(A) = ad - bc が0でない場合に存在し、次の式で与えられます。
A−1=1ad−bc[d−b−ca]A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
(2) 3x3行列の逆行列
3x3行列 AA の逆行列を求めるには、掃き出し法を使う方法と、余因子行列を使う方法があります。ここでは、掃き出し法を用いることにします。
行列 AA に単位行列 II を並べた拡大行列 [A∣I][A|I] を作り、基本変形を繰り返して [I∣A−1][I|A^{-1}] の形に変形することで、A−1A^{-1} を求めます。

3. 各行列に対する計算と最終的な答え

1. $A = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ の場合

det(A)=(5)(1)−(3)(2)=5−6=−1≠0det(A) = (5)(1) - (3)(2) = 5 - 6 = -1 \neq 0 なので、逆行列が存在します。
A−1=1−1[1−3−25]=[−132−5]A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{bmatrix}

2. $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ の場合

[111∣10001−1∣010102∣001]→R3→R3−R1[111∣10001−1∣0100−11∣−101]→R3→R3+R2[111∣10001−1∣010000∣−111]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 &|& -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 + R_2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &|& -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}
3行目がすべて0になったため、行列式は0であり逆行列は存在しません。

3. $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の場合

[111∣10001−1∣010−211∣001]→R3→R3+2R1[111∣10001−1∣010033∣201]→R3→R3−3R2[111∣10001−1∣010006∣2−31]→R3→16R3[111∣10001−1∣010001∣13−1216]→R2→R2+R3[111∣100010∣131216001∣13−1216]→R1→R1−R3[110∣2312−16010∣131216001∣13−1216]→R1→R1−R2[100∣130−13010∣131216001∣13−1216]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 3 &|& 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 &|& 2 & -3 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow \frac{1}{6}R_3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \rightarrow R_2 + R_3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 &|& \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \rightarrow R_1 - R_3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 &|& \frac{2}{3} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 0 &|& \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 &|& \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \rightarrow R_1 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &|& \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 &|& \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 &|& \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}
A−1=[130−1313121613−1216]A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}

4. $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ の場合

[011∣100101∣010110∣001]→R1↔R2[101∣010011∣100110∣001]→R3→R3−R1[101∣010011∣10001−1∣0−11]→R3→R3−R2[101∣010011∣10000−2∣−1−11]→R3→−12R3[101∣010011∣100001∣1212−12]→R2→R2−R3[101∣010010∣12−1212001∣1212−12]→R1→R1−R3[100∣−121212010∣12−1212001∣1212−12]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &|& 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 &|& -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow -\frac{1}{2}R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \rightarrow R_2 - R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 &|& \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \rightarrow R_1 - R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 &|& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 &|& \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}
A−1=[−12121212−12121212−12]=12[−1111−1111−1]A^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}
最終的な答え

1. $\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{bmatrix}$

2. 逆行列は存在しない

3. $\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$

4. $\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

「代数学」の関連問題

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、等式 $\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$ が成り立つことを証明する。

比比例式等式の証明
2025/6/13

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、点 $(-1, 0)$ と $(3, 8)$ を通り、直線 $y = 2x + 6$ に接するとき、$a, b, c$ の値を求めます。

二次関数二次方程式接線座標平面直線の方程式
2025/6/13

カレンダーで四角形で囲んだ4つの数の和が、常に4の倍数になることを文字式を使って説明する問題です。

文字式整数の性質倍数
2025/6/13

与えられた整式 $P = x^3 - 5x^2 + 10x - 6$ について、以下の問いに答えます。 (1) $P$ を $x^2 - 2x + 4$ で割ったときの商と余りを求めます。 (2) $...

整式多項式の割り算因数定理複素数
2025/6/13

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問題があります。 (1) 3点(3, 1), (2, 1), (-1, -5) を通る2次関数を求める。 (2) 頂点が(1,...

二次関数連立方程式頂点接する二次方程式
2025/6/13

3点 $(3,1)$, $(2,1)$, $(-1,-5)$ を通る2次関数を求める問題です。

二次関数連立方程式座標
2025/6/13

関数 $y = -2x + 3$ の $-1 \le x \le 2$ におけるグラフを描き、最大値と最小値を求めよ。

一次関数グラフ最大値最小値定義域
2025/6/13

$0 \le x \le 8$ のすべての $x$ の値に対して、不等式 $x^2 - 2mx + m + 6 > 0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

二次不等式平方完成範囲
2025/6/13

与えられた式 $V = \frac{1}{3}Sh$ において、大括弧で囲まれた $S$ について解き、 $S$ を他の変数で表す式を求めます。

式の変形解の公式体積文字式の計算
2025/6/13

2つの2次正方行列について、それぞれの逆行列を求める問題です。 (1) $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (2) $B = \be...

行列逆行列ケーリー・ハミルトンの定理固有多項式
2025/6/13