定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 2x^2 - 4ax + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 \\

&= 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 \\

&= 2(x - a)^2

\end{align*}

したがって、この関数のグラフは、頂点が $(a, 0)$ で、下に凸な放物線です。

次に、定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値を考えます。頂点の $x$ 座標 $a$ の値によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき、定義域 $0 \le x \le 1$ で $y$ は単調減少なので、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(0 - a)^2 = 2a^2$ です。

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、頂点が定義域に含まれるので、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(a - a)^2 = 0$ です。

(iii) $a > 1$ のとき、定義域 $0 \le x \le 1$ で $y$ は単調増加なので、$x = 1$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(1 - a)^2 = 2(1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 4a + 2$ です。

3. 最終的な答え

したがって、最小値は

$$

\begin{cases}

2a^2 & (a < 0) \\

0 & (0 \le a \le 1) \\

2a^2 - 4a + 2 & (a > 1)

\end{cases}

$$