与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{1}{1+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+2}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+2}$

です。

2. 解き方の手順

各分数の分母を有理化します。

最初の分数：

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2}-1$

二番目の分数：

$\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2-3} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{-1} = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

三番目の分数：

$\frac{1}{\sqrt{3}+2} = \frac{1}{\sqrt{3}+2} \cdot \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2} = \frac{\sqrt{3}-2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}-2}{-1} = 2-\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+2} = (\sqrt{2}-1) - (2\sqrt{3}-2\sqrt{2}) + (2-\sqrt{3})$

$= \sqrt{2}-1 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{3}$

$= 3\sqrt{2} - 3\sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2} - 3\sqrt{3} + 1$