$\sqrt{\frac{540}{n}}$ が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最小のものを求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{540}{n}}$ が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最小のものを求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{540}{n}}$ が自然数となるためには、$\frac{540}{n}$ がある自然数の2乗になる必要がある。まず、540を素因数分解する。

$540 = 2 \times 270 = 2 \times 2 \times 135 = 2 \times 2 \times 3 \times 45 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5$

したがって、

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

$\frac{540}{n}$ を自然数の2乗にするには、$n$ で割った結果が $2^{偶数} \times 3^{偶数} \times 5^{偶数}$ の形になる必要がある。

$\frac{540}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{n}$ であるから、$n$ は $3^3$ と $5$ を取り除く必要がある。つまり、$n$ は $3 \times 5 = 15$ の倍数である必要がある。

したがって、$n = 3 \times 5 \times k^2$ の形になる。

$\frac{540}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{n}$ が自然数の2乗となるような最小の $n$ を求めたい。

$\frac{540}{n}$ が自然数の2乗になるためには、$n$ は $3 \times 5 = 15$ を約数に持つ必要がある。

$\frac{540}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{n} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 3 \times 5}{n}$

$\frac{540}{n}$ が自然数となるようにするために、$\frac{540}{n} = k^2$ となる自然数 $k$ が存在するようにする。

$n = \frac{540}{k^2}$

$\frac{540}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{n}$ を自然数の2乗にするには、$n$ は $3^3$ と $5$ の奇数乗を取り除く必要がある。

よって $n = 3 \times 5 = 15$ とすると $\frac{540}{15} = 36 = 6^2$ となり、条件を満たす。

3. 最終的な答え

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