自然数 $m$ と $n$ が与えられたとき、命題「$m^2 + n^2$ が偶数ならば、$m + n$ は偶数である」を証明する必要があります。

1. 問題の内容

自然数 $m$ と $n$ が与えられたとき、命題「$m^2 + n^2$ が偶数ならば、$m + n$ は偶数である」を証明する必要があります。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明します。命題「$P \Rightarrow Q$」の対偶は「$\neg Q \Rightarrow \neg P$」です。元の命題とその対偶は真偽が一致します。

この問題の命題の対偶は「$m+n$ が奇数ならば、$m^2 + n^2$ は奇数である」となります。これを証明します。

$m+n$ が奇数であるとき、$m$ と $n$ のうち一方は偶数で、もう一方は奇数です。

(i) $m$ が偶数、$n$ が奇数の場合：

$m = 2k$, $n = 2l+1$ （$k$, $l$ は整数）とおけます。

このとき、

$m^2 + n^2 = (2k)^2 + (2l+1)^2 = 4k^2 + 4l^2 + 4l + 1 = 2(2k^2 + 2l^2 + 2l) + 1$

これは奇数です。

(ii) $m$ が奇数、$n$ が偶数の場合：

$m = 2k+1$, $n = 2l$ （$k$, $l$ は整数）とおけます。

このとき、

$m^2 + n^2 = (2k+1)^2 + (2l)^2 = 4k^2 + 4k + 1 + 4l^2 = 2(2k^2 + 2k + 2l^2) + 1$

これは奇数です。

したがって、$m+n$ が奇数ならば、$m^2 + n^2$ は奇数であることが証明されました。これは元の命題の対偶であるため、元の命題「$m^2 + n^2$ が偶数ならば、$m + n$ は偶数である」も真です。

3. 最終的な答え

証明終わり。