与えられた数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の第6項と第7項を、階差数列を利用して求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の第6項と第7項を、階差数列を利用して求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

数列を $a_n$ とすると、

$a_1 = 1$

$a_2 = 2$

$a_3 = 5$

$a_4 = 10$

$a_5 = 17$

階差数列 $b_n$ は、

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 10 - 5 = 5$

$b_4 = a_5 - a_4 = 17 - 10 = 7$

階差数列 $b_n$ は $1, 3, 5, 7, \dots$ となり、これは初項1、公差2の等差数列です。

したがって、階差数列の一般項は $b_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1$ となります。

数列 $a_n$ の一般項を求めます。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = (n-1)n - (n-1) = n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 1 = (n-1)^2$

したがって、$a_n = 1 + (n-1)^2 = n^2 - 2n + 2$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 2 \times 1 + 2 = 1$ となり、$a_1 = 1$ を満たします。

よって、$a_n = n^2 - 2n + 2$

第6項 $a_6$ を求めます。

$a_6 = 6^2 - 2 \times 6 + 2 = 36 - 12 + 2 = 26$

第7項 $a_7$ を求めます。

$a_7 = 7^2 - 2 \times 7 + 2 = 49 - 14 + 2 = 37$

3. 最終的な答え

第6項は26、第7項は37です。