以下の2つの計算問題に答えます。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{12}} - \frac{1}{\sqrt{27}}$ (2) $\frac{1}{3-\sqrt{5}} + \frac{1}{3+\sqrt{5}}$

## 解答

1. 問題の内容

以下の2つの計算問題に答えます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{12}} - \frac{1}{\sqrt{27}}$

(2) $\frac{1}{3-\sqrt{5}} + \frac{1}{3+\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化し、根号の中身を整理して計算します。

* まず、$\sqrt{12}$ と $\sqrt{27}$ を簡単にします。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

* 式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}}$

* 通分します。

$\frac{6}{6\sqrt{3}} - \frac{3}{6\sqrt{3}} - \frac{2}{6\sqrt{3}} = \frac{6-3-2}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{6\sqrt{3}}$

* 分母を有理化します。

$\frac{1}{6\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{18}$

(2) 分母を有理化するか、通分して計算します。ここでは通分する方法を示します。

* 通分します。

$\frac{1}{3-\sqrt{5}} + \frac{1}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5}) + (3-\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}$

* 分子を計算します。

$3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} = 6$

* 分母を展開します。

$(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

* 式を整理します。

$\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{18}$

(2) $\frac{3}{2}$