6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個を選んで並べ、4桁の整数を作る。 (1) 4桁の整数は何個作れるか。 (2) 4桁の偶数は何個作れるか。 (3) 2400よりも大きい4桁の整数は何個作れるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個を選んで並べ、4桁の整数を作る。

(1) 4桁の整数は何個作れるか。

(2) 4桁の偶数は何個作れるか。

(3) 2400よりも大きい4桁の整数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

千の位には0以外の5つの数字のいずれかを入れることができる。

残りの3つの位には、残りの5つの数字から3つを選んで並べることができる。

したがって、4桁の整数の個数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個である。

(2) 4桁の偶数

4桁の整数が偶数であるためには、一の位が0, 2, 4のいずれかでなければならない。

(i) 一の位が0のとき

千の位には0以外の5つの数字のいずれかを入れることができる。

百の位には残りの4つの数字のいずれかを入れることができる。

十の位には残りの3つの数字のいずれかを入れることができる。

したがって、この場合の偶数の個数は $5 \times 4 \times 3 = 60$ 個である。

(ii) 一の位が2または4のとき

千の位には0と一の位の数字以外の4つの数字のいずれかを入れることができる。

百の位には残りの4つの数字のいずれかを入れることができる。

十の位には残りの3つの数字のいずれかを入れることができる。

したがって、この場合の偶数の個数は $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$ 個である。

よって、4桁の偶数の個数は $60 + 96 = 156$ 個である。

(3) 2400よりも大きい4桁の整数

千の位が2, 3, 4, 5のいずれかである必要がある。

(i) 千の位が3, 4, 5のいずれかのとき

千の位には3つの数字のいずれかを入れることができる。

残りの3つの位には、残りの5つの数字から3つを選んで並べることができる。

したがって、この場合の整数の個数は $3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$ 個である。

(ii) 千の位が2のとき

百の位が4または5のいずれかである必要がある。

(a) 百の位が4または5のとき

百の位には2つの数字のいずれかを入れることができる。

残りの2つの位には、残りの4つの数字から2つを選んで並べることができる。

したがって、この場合の整数の個数は $2 \times 4 \times 3 = 24$ 個である。

よって、2400よりも大きい4桁の整数の個数は $180 + 24 = 204$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) 4桁の整数：300個

(2) 4桁の偶数：156個

(3) 2400よりも大きい4桁の整数：204個