2次方程式 $x^2 - 2(a-1)x - 4a = 0$ が、 $-3 \le x \le 1$ の範囲に異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(a-1)x - 4a = 0$ が、 $-3 \le x \le 1$ の範囲に異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2(a-1)x - 4a = 0$ とおく。

この2次方程式が $-3 \le x \le 1$ の範囲に異なる2つの実数解を持つための条件を考える。

(1) 判別式 $D > 0$

異なる2つの実数解を持つためには、判別式が正である必要がある。

$D = (-2(a-1))^2 - 4(1)(-4a) = 4(a^2 - 2a + 1) + 16a = 4(a^2 + 2a + 1) = 4(a+1)^2$

$D > 0$ より、 $4(a+1)^2 > 0$。したがって、$a \neq -1$ である。

(2) 軸の位置

軸 $x = a-1$ が、$-3 < a-1 < 1$ を満たす必要がある。

$-3 < a-1 < 1$ より、$-2 < a < 2$ である。

(3) $f(-3) > 0$ かつ $f(1) > 0$

$f(-3) = (-3)^2 - 2(a-1)(-3) - 4a = 9 + 6(a-1) - 4a = 9 + 6a - 6 - 4a = 2a + 3 > 0$

よって、 $2a > -3$ より、$a > -\frac{3}{2}$

$f(1) = 1^2 - 2(a-1)(1) - 4a = 1 - 2(a-1) - 4a = 1 - 2a + 2 - 4a = -6a + 3 > 0$

よって、 $-6a > -3$ より、$a < \frac{1}{2}$

(4) 端点での条件

$f(-3) = 0$または$f(1) = 0$の場合、解が1つになる可能性があるので、条件を満たすかどうか確認する必要がある。

以上の条件をまとめると、

$a \neq -1$, $-2 < a < 2$, $a > -\frac{3}{2}$, $a < \frac{1}{2}$

したがって、 $-\frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$ かつ $a \neq -1$ となる。

$-\frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$