次の条件で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 6, a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}, b_n = \frac{a_n}{3^n}$ (2) $a_1 = 4, a_{n+1} = 12a_n + 4^{n+2}, b_n = \frac{a_n}{4^n}$

1. 問題の内容

次の条件で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 6, a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}, b_n = \frac{a_n}{3^n}$

(2) $a_1 = 4, a_{n+1} = 12a_n + 4^{n+2}, b_n = \frac{a_n}{4^n}$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 6, a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}, b_n = \frac{a_n}{3^n}$ の場合

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ より $a_n = 3^n b_n$ であるから、漸化式に代入すると、

$3^{n+1} b_{n+1} = 6 \cdot 3^n b_n + 3^{n+1}$

両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$b_{n+1} = 2b_n + 1$

これは、$b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$ と変形できるので、$c_n = b_n + 1$ とおくと、

$c_{n+1} = 2c_n$

また、$c_1 = b_1 + 1 = \frac{a_1}{3^1} + 1 = \frac{6}{3} + 1 = 2+1 = 3$ であるから、数列 $\{c_n\}$ は初項3, 公比2の等比数列である。よって、

$c_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

したがって、$b_n = c_n - 1 = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

ゆえに、$a_n = 3^n b_n = 3^n (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3^{n+1} \cdot 2^{n-1} - 3^n$

$a_n = 3^{n+1} 2^{n-1} - 3^n$

(2) $a_1 = 4, a_{n+1} = 12a_n + 4^{n+2}, b_n = \frac{a_n}{4^n}$ の場合

$b_n = \frac{a_n}{4^n}$ より $a_n = 4^n b_n$ であるから、漸化式に代入すると、

$4^{n+1} b_{n+1} = 12 \cdot 4^n b_n + 4^{n+2}$

両辺を $4^{n+1}$ で割ると、

$b_{n+1} = 3b_n + 4$

これは、$b_{n+1} + 2 = 3(b_n + 2)$ と変形できるので、$c_n = b_n + 2$ とおくと、

$c_{n+1} = 3c_n$

また、$c_1 = b_1 + 2 = \frac{a_1}{4^1} + 2 = \frac{4}{4} + 2 = 1+2 = 3$ であるから、数列 $\{c_n\}$ は初項3, 公比3の等比数列である。よって、

$c_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

したがって、$b_n = c_n - 2 = 3^n - 2$

ゆえに、$a_n = 4^n b_n = 4^n (3^n - 2)$

$a_n = 4^n (3^n - 2)$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^{n+1} 2^{n-1} - 3^n$

(2) $a_n = 4^n (3^n - 2)$