直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が14cmであるとき、この直角三角形の面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が14cmであるとき、この直角三角形の面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

ABの長さを$x$ cmとすると、BCの長さは$(14-x)$ cmと表せる。

直角三角形ABCの面積を$S$とすると、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times x \times (14-x)$

$S = \frac{1}{2} (14x - x^2) = -\frac{1}{2}x^2 + 7x$

$S = -\frac{1}{2} (x^2 - 14x) = -\frac{1}{2} (x^2 - 14x + 49 - 49)$

$S = -\frac{1}{2} ((x - 7)^2 - 49) = -\frac{1}{2} (x - 7)^2 + \frac{49}{2}$

面積Sが最大になるのは、$x=7$のときである。

このとき、面積の最大値は$\frac{49}{2} = 24.5$となる。

$x$ は辺の長さなので、$x>0$ であり、また $14-x > 0$ でもあるから、$0 < x < 14$ である。

$x=7$はこの範囲に含まれているので、問題ない。

3. 最終的な答え

2

4. 5 cm^2