与えられた2次方程式 $4x^2 + 3x - m = 0$ について、 (ア) 異なる2つの実数解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。 (イ) 重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $4x^2 + 3x - m = 0$ について、

(ア) 異なる2つの実数解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

(イ) 重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると、

- $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

- $D = 0$ のとき、重解を持つ。

- $D < 0$ のとき、実数解を持たない。

(ア)

与えられた2次方程式 $4x^2 + 3x - m = 0$ において、$a = 4$, $b = 3$, $c = -m$ であるから、判別式 $D$ は、

$D = 3^2 - 4(4)(-m) = 9 + 16m$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ でなければならないので、

$9 + 16m > 0$

$16m > -9$

$m > -\frac{9}{16}$

(イ)

重解を持つためには、$D = 0$ でなければならないので、

$9 + 16m = 0$

$16m = -9$

$m = -\frac{9}{16}$

このとき、2次方程式は $4x^2 + 3x + \frac{9}{16} = 0$ となる。

これは $(2x + \frac{3}{4})^2 = 0$ と変形できるので、

$2x + \frac{3}{4} = 0$

$2x = -\frac{3}{4}$

$x = -\frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

(ア) 異なる2つの実数解を持つための $m$ の範囲：$m > -\frac{9}{16}$

(イ) 重解を持つための $m$ の値：$m = -\frac{9}{16}$、重解：$x = -\frac{3}{8}$