与えられた点を通る、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める問題です。4つの小問があります。

1. 問題の内容

与えられた点を通る、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める問題です。4つの小問があります。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた直線は $y = 3x + 1$ で、傾きは3です。これに垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{3}$ です。点 $(3, -1)$ を通る直線の式は、

$y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{1}{3}x + 1$

$y = -\frac{1}{3}x$

(2)

与えられた直線は $2x - 5y - 1 = 0$ です。これを $y$ について解くと、

$5y = 2x - 1$

$y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}$

傾きは $\frac{2}{5}$ です。これに垂直な直線の傾きは $-\frac{5}{2}$ です。点 $(1, 4)$ を通る直線の式は、

$y - 4 = -\frac{5}{2}(x - 1)$

$y - 4 = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2}$

$y = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2} + 4$

$y = -\frac{5}{2}x + \frac{13}{2}$

(3)

与えられた直線は $3x + 5y + 1 = 0$ です。これを $y$ について解くと、

$5y = -3x - 1$

$y = -\frac{3}{5}x - \frac{1}{5}$

傾きは $-\frac{3}{5}$ です。これに垂直な直線の傾きは $\frac{5}{3}$ です。点 $(-2, 5)$ を通る直線の式は、

$y - 5 = \frac{5}{3}(x - (-2))$

$y - 5 = \frac{5}{3}(x + 2)$

$y - 5 = \frac{5}{3}x + \frac{10}{3}$

$y = \frac{5}{3}x + \frac{10}{3} + 5$

$y = \frac{5}{3}x + \frac{25}{3}$

(4)

与えられた直線は $x = 5$ です。これは $y$ 軸に平行な直線なので、これに垂直な直線は $x$ 軸に平行な直線になります。点 $(3, 2)$ を通る $x$ 軸に平行な直線の方程式は、

$y = 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{3}x$

(2) $y = -\frac{5}{2}x + \frac{13}{2}$

(3) $y = \frac{5}{3}x + \frac{25}{3}$

(4) $y = 2$