6個の数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ を使って作れる、以下の条件を満たす整数の個数を求める。ただし、同じ数字は2度以上使わない。 (1) 6桁の整数の個数 (2) 6桁の整数で5の倍数の個数

1. 問題の内容

6個の数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ を使って作れる、以下の条件を満たす整数の個数を求める。ただし、同じ数字は2度以上使わない。

(1) 6桁の整数の個数

(2) 6桁の整数で5の倍数の個数

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数の個数

6桁の整数を作るには、まず先頭の桁に0以外の数字を入れる必要がある。

先頭の桁には1から5のいずれかの数字が入るので、5通りの選び方がある。

残りの5桁には、残りの5つの数字（0を含む）を自由に並べることができる。これは5!通りの並べ方がある。

したがって、6桁の整数の個数は $5 \times 5!$ で計算できる。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

よって、$5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$

(2) 6桁の整数で5の倍数の個数

6桁の整数が5の倍数であるためには、一の位が0か5である必要がある。

(a) 一の位が0の場合

一の位が0の場合、残りの5桁には1から5の5つの数字を自由に並べることができる。

したがって、この場合の整数の個数は $5! = 120$ 通りである。

(b) 一の位が5の場合

一の位が5の場合、先頭の桁には0以外の数字を入れる必要がある。

しかし、5はすでに一の位に使われているので、先頭の桁には1から4のいずれかの数字が入る。つまり、4通りの選び方がある。

残りの4桁には、残りの4つの数字（0を含む）を自由に並べることができる。

先頭の桁がすでに決まっているので、残り5つの数字から0と先頭で使った数字を除いた4つの数字を並べれば良い。これは4!通りの並べ方がある。

したがって、この場合の整数の個数は $4 \times 4!$ で計算できる。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

よって、$4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$

したがって、6桁の整数で5の倍数の個数は、(a)と(b)の場合の数を足し合わせて $120 + 96 = 216$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 6桁の整数の個数：600個

(2) 6桁の整数で5の倍数の個数：216個