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5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数のうち、以下の条件を満たす整数は何個あるか。ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。 (1) 偶数 (2) 3の倍数

算数順列組み合わせ整数偶数倍数
2025/6/12
## 問題6

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数のうち、以下の条件を満たす整数は何個あるか。ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。
(1) 偶数
(2) 3の倍数

2. 解き方の手順

(1) 偶数の場合
* 百の位は0以外の4通り。
* 一の位が0, 2, 4の場合を考える。
(i) 一の位が0の場合:
百の位は0以外なので、4通り。十の位は、百の位と一の位で使った数字以外なので、3通り。よって、4 * 3 = 12通り。
(ii) 一の位が2または4の場合:
一の位の選び方は2通り。百の位は0と一の位の数字以外なので、3通り。十の位は、百の位と一の位で使った数字以外なので、3通り。よって、2 * 3 * 3 = 18通り。
(i)と(ii)を足し合わせると、12 + 18 = 30通り。
(2) 3の倍数の場合
3の倍数となるのは、各位の数の和が3の倍数となるときである。
0, 1, 2, 3, 4から3つ選んで和が3の倍数となる組み合わせを考える。
* (0, 1, 2): 2 * 2 * 1 = 4通り, 0は百の位には来れないので、最初の位の選び方は2通り
* (0, 2, 4): 2 * 2 * 1 = 4通り
* (1, 2, 3): 3 * 2 * 1 = 6通り
* (2, 3, 4): 3 * 2 * 1 = 6通り
* (0, 3, 3): 0, 3, 3の組み合わせはないので考慮しない
* (1, 1, 1): 組み合わせがないので考慮しない。
上記を足し合わせると、4 + 4 + 6 + 6 = 20通り。

3. 最終的な答え

(1) 30個
(2) 20個
## 問題7

1. 問題の内容

6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数は何個あるか。
(1) 4300より大きい整数
(2) 5000より大きい偶数

2. 解き方の手順

(1) 4300より大きい整数
* 千の位が4の場合:
百の位が3, 4, 5, 6の場合を考える。
- 43xx: 十の位と一の位は残りの4つの数字から2つ選んで並べるので、4P2=4∗3=12_4 P_2 = 4 * 3 = 12通り
- 44xxは無い
- 45xx: 4P2=4∗3=12_4 P_2 = 4 * 3 = 12通り
- 46xx: 4P2=4∗3=12_4 P_2 = 4 * 3 = 12通り
千の位が5か6の場合:
-5xxx: 5 * 4 * 3 = 60通り。6個の数字から1個選んで、残りの5個から3個選んで並べる。5P3_5 P_3で、千の位を固定しているので5 * 4 * 3 = 60
-6xxx: 5 * 4 * 3 = 60通り。同様に考えて60通り。
合計すると、 12 + 60 + 60 = 132個。
(2) 5000より大きい偶数
* 千の位が5か6の場合を考える。
(i) 千の位が5の場合:
一の位は2, 4, 6のいずれか。
-一の位が2, 4の場合: 5 _ _2/4 残り4つの数字から2つ選んで並べる$_4 P_2 = 12通り
一の位が6の場合：5 _ _6 残り4つの数字から2つ選んで並べる$_4 P_2 = 12通り
2 + 4 の場合は12、６の場合も12。合わせて24通り。
(ii) 千の位が6の場合:
一の位は2, 4のいずれか。
一の位が2, 4: 6 _ _2/4 残り4つの数字から2つ選んで並べる$_4 P_2 = 12通り。
2,4の場合 12通り、合わせて12通り。
(i)と(ii)を足し合わせると、24 + 12 = 36通り。

3. 最終的な答え

(1) 132個
(2) 36個

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