問題6：0, 1, 2, 3, 4 の5つの数字を使って3桁の整数を作る。ただし、同じ数字を2度以上使わないとする。 (1) 偶数は何個できるか。 (2) 3の倍数は何個できるか。 問題7：1, 2, 3, 4, 5, 6 の6つの数字から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作る。 (1) 4300より大きい整数は何個できるか。 (2) 5000より大きい偶数は何個できるか。
2025/6/12
1. 問題の内容
問題6：0, 1, 2, 3, 4 の5つの数字を使って3桁の整数を作る。ただし、同じ数字を2度以上使わないとする。
(1) 偶数は何個できるか。
(2) 3の倍数は何個できるか。
問題7：1, 2, 3, 4, 5, 6 の6つの数字から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作る。
(1) 4300より大きい整数は何個できるか。
(2) 5000より大きい偶数は何個できるか。
2. 解き方の手順
問題6
(1) 偶数の場合
3桁の整数が偶数であるためには、一の位が0, 2, 4のいずれかである必要があります。
- 一の位が0の場合：
百の位は0以外の4通り、十の位は残りの3通りなので、4 * 3 = 12通り。
- 一の位が2または4の場合：
一の位は2通り。百の位は0と一の位の数字以外の3通り。十の位は残りの3通りなので、2 * 3 * 3 = 18通り。
したがって、偶数の個数は12 + 18 = 30個。
(2) 3の倍数の場合
3桁の整数が3の倍数であるためには、各桁の数字の和が3の倍数になる必要があります。使用できる数字は0, 1, 2, 3, 4 です。
考えられる組み合わせは以下の通りです。
- {0, 1, 2} → 4通り (百の位が0でない)
- {0, 2, 4} → 4通り
- {1, 2, 3} → 6通り
- {2, 3, 4} → 6通り
- {0, 3} を含む組み合わせで3桁作るのは不可能。
- {1, 4} を含む組み合わせで3桁作るのは不可能。
したがって、3の倍数の個数は4 + 4 + 6 + 6 = 20個。
問題7
(1) 4300より大きい整数の場合
- 千の位が4の場合：
百の位が3よりも大きい(3は含まない)場合、百の位は5, 6の2通り。十の位は残りの4通り、一の位は残りの3通りなので、2 * 4 * 3 = 24通り。
百の位が3の場合、十の位は4, 5, 6の3通り、一の位は残りの3通りなので、3 * 3 = 9通り。
- 千の位が5または6の場合：
千の位は2通り。百の位は残りの5通り、十の位は残りの4通り、一の位は残りの3通りなので、2 * 5 * 4 * 3 = 120通り。
したがって、4300より大きい整数の個数は24 + 9 + 120 = 153個。
(2) 5000より大きい偶数の場合
- 千の位が5の場合：
一の位は2, 4, 6の3通り。百の位は残りの4通り、十の位は残りの3通りなので、3 * 4 * 3 = 36通り。
- 千の位が6の場合：
一の位は2, 4の2通り。百の位は残りの4通り、十の位は残りの3通りなので、2 * 4 * 3 = 24通り。
したがって、5000より大きい偶数の個数は36 + 24 = 60個。
3. 最終的な答え
問題6：
(1) 30個
(2) 20個
問題7：
(1) 153個
(2) 60個