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6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って作れる、以下の条件を満たす整数の個数を求めます。ただし、同じ数字は2度以上使わないものとします。 (1) 6桁の整数 (2) 6桁の整数で5の倍数

算数順列組み合わせ整数の性質倍数
2025/6/12

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って作れる、以下の条件を満たす整数の個数を求めます。ただし、同じ数字は2度以上使わないものとします。
(1) 6桁の整数
(2) 6桁の整数で5の倍数

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数の個数
6桁の整数を作る場合、先頭の桁は0であってはいけません。
* 先頭の桁の選び方: 0以外の5つの数字(1, 2, 3, 4, 5)から1つ選ぶので、5通り。
* 2桁目以降の選び方: 残りの5つの数字から順に選ぶ。
* 2桁目: 残りの5つの数字から1つ選ぶので、5通り。
* 3桁目: 残りの4つの数字から1つ選ぶので、4通り。
* 4桁目: 残りの3つの数字から1つ選ぶので、3通り。
* 5桁目: 残りの2つの数字から1つ選ぶので、2通り。
* 6桁目: 残りの1つの数字から1つ選ぶので、1通り。
よって、6桁の整数の個数は、5×5×4×3×2×1=5×5!=5×120=6005 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5 \times 5! = 5 \times 120 = 600 個です。
(2) 6桁の整数で5の倍数の個数
6桁の整数が5の倍数であるためには、末尾の数字が0または5である必要があります。
末尾が0の場合と末尾が5の場合で場合分けして考えます。
(a) 末尾が0の場合:
* 末尾の選び方: 0で1通り。
* 先頭の桁の選び方: 0以外の5つの数字から1つ選ぶので、5通り。
* 2桁目以降の選び方: 残りの4つの数字から順に選ぶ。
* 2桁目: 残りの4つの数字から1つ選ぶので、4通り。
* 3桁目: 残りの3つの数字から1つ選ぶので、3通り。
* 4桁目: 残りの2つの数字から1つ選ぶので、2通り。
* 5桁目: 残りの1つの数字から1つ選ぶので、1通り。
よって、末尾が0である6桁の整数の個数は、5×4×3×2×1×1=5!=1205 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 5! = 120 個です。
(b) 末尾が5の場合:
* 末尾の選び方: 5で1通り。
* 先頭の桁の選び方: 0と5以外の4つの数字(1, 2, 3, 4)から1つ選ぶので、4通り。
* 2桁目以降の選び方: 残りの4つの数字から順に選ぶ。
* 2桁目: 残りの4つの数字から1つ選ぶので、4通り。
* 3桁目: 残りの3つの数字から1つ選ぶので、3通り。
* 4桁目: 残りの2つの数字から1つ選ぶので、2通り。
* 5桁目: 残りの1つの数字から1つ選ぶので、1通り。
よって、末尾が5である6桁の整数の個数は、4×4×3×2×1×1=4×4!=4×24=964 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 4 \times 4! = 4 \times 24 = 96 個です。
したがって、6桁の整数で5の倍数の個数は、120+96=216120 + 96 = 216 個です。

3. 最終的な答え

(1) 6桁の整数の個数: 600個
(2) 6桁の整数で5の倍数の個数: 216個

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