$\sqrt{450a}$ が自然数となるような $a$ の値を、選択肢（ア）12, (イ)14, (ウ）16, (エ) 18, (オ) 20の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{450a}$ が自然数となるような $a$ の値を、選択肢（ア）12, (イ)14, (ウ）16, (エ) 18, (オ) 20の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{450a}$ が自然数になるということは、$450a$ がある自然数の2乗になるということです。

まず、$450$ を素因数分解します。

$450 = 2 \times 225 = 2 \times 3 \times 75 = 2 \times 3 \times 3 \times 25 = 2 \times 3^2 \times 5^2$

したがって、$\sqrt{450a} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 5^2 \times a} = \sqrt{3^2 \times 5^2 \times 2 \times a} = 3 \times 5 \times \sqrt{2a} = 15 \sqrt{2a}$

$\sqrt{450a}$ が自然数になるには、$\sqrt{2a}$が自然数になれば良いので、$2a$ がある自然数の2乗になる必要があります。つまり、$a$ は、$2 \times x^2$ (xは自然数) の形になる必要があります。

選択肢を見てみると、

(ア) $a = 12$ のとき、$2a = 2 \times 12 = 24$。これは自然数の2乗ではない。

(イ) $a = 14$ のとき、$2a = 2 \times 14 = 28$。これは自然数の2乗ではない。

(ウ) $a = 16$ のとき、$2a = 2 \times 16 = 32$。これは自然数の2乗ではない。

(エ) $a = 18$ のとき、$2a = 2 \times 18 = 36 = 6^2$。これは自然数の2乗である。

(オ) $a = 20$ のとき、$2a = 2 \times 20 = 40$。これは自然数の2乗ではない。

したがって、$a = 18$ のとき $\sqrt{450a} = \sqrt{450 \times 18} = \sqrt{8100} = 90$ となり、自然数になります。

3. 最終的な答え

(エ) 18