$n$ 個から $r$ 個選ぶ組み合わせの数 $_nC_r$ が、$_nC_r = _{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_r$ と表せることを、組み合わせの考え方を用いて説明します。ここで、$n$ 個から $r$ 個取り出す組み合わせを、特定の1個を含む場合と含まない場合に分けて考えます。

1. 問題の内容

$n$ 個から $r$ 個選ぶ組み合わせの数 $_nC_r$ が、$_nC_r = _{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_r$ と表せることを、組み合わせの考え方を用いて説明します。ここで、$n$ 個から $r$ 個取り出す組み合わせを、特定の1個を含む場合と含まない場合に分けて考えます。

2. 解き方の手順

$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ組み合わせ $_nC_r$ を考えます。

このとき、$n$ 個の中に特定の 1 つの要素 $A$ があるとします。

$r$ 個の要素を選ぶ際に、この要素 $A$ を含む場合と含まない場合の2つに場合分けをします。

(i) 要素 $A$ を含む場合

要素 $A$ を含むので、残りの $r-1$ 個の要素を、$A$ 以外の $n-1$ 個の要素から選ぶことになります。

したがって、この場合の組み合わせの数は $_{n-1}C_{r-1}$ となります。

(ii) 要素 $A$ を含まない場合

要素 $A$ を含まないので、$r$ 個の要素全てを、$A$ 以外の $n-1$ 個の要素から選ぶことになります。

したがって、この場合の組み合わせの数は $_{n-1}C_{r}$ となります。

(i)と(ii)は互いに排反であり、これら全ての組み合わせを合わせると、$n$ 個から $r$ 個を選ぶ組み合わせ $_nC_r$ となります。

したがって、

$$_nC_r = _{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_r$$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$_nC_r = _{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_r$