(1) $\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ を計算する。 (2) $\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ を計算する。

(2) $\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行う。分母の $2\sqrt{3}-\sqrt{2}$ に対して、$2\sqrt{3}+\sqrt{2}$ をかけることで分母を有理化する。分子と分母に同じ数をかける。

$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+2\sqrt{2})(2\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{3}+\sqrt{2})}$

分子を展開する。

$(\sqrt{3}+2\sqrt{2})(2\sqrt{3}+\sqrt{2}) = 2(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\sqrt{3} + 2(\sqrt{2})^2 = 2(3) + \sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2(2) = 6 + 5\sqrt{6} + 4 = 10+5\sqrt{6}$

分母を展開する。

$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 4(3) - 2 = 12-2 = 10$

よって、

$\frac{(\sqrt{3}+2\sqrt{2})(2\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{10+5\sqrt{6}}{10} = \frac{10}{10} + \frac{5\sqrt{6}}{10} = 1+\frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) 各項の分母を有理化する。

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} \times \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -1-\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{2}-\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}-2} = \frac{1}{\sqrt{3}-2} \times \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = \frac{\sqrt{3}+2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}+2}{-1} = -\sqrt{3}-2$

よって、

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2} = (-1-\sqrt{2}) - (-\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}-2) = -1-\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 = -1-2 = -3$

3. 最終的な答え

(1) $1+\frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $-3$