複数の問題が含まれています。以下、個別に解答します。 問題1: $5 \cdot 2^3$ と $108$ の正の約数の個数と、その約数の総和を求める。 問題2: 2桁の自然数のうち、各位の数の積が偶数になる自然数は何個あるか。 問題3: 大中小3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合は何通りあるか。 (1) 目がすべて異なる。 (2) 少なくとも2個が同じ目。 (3) 目の積が3の倍数。 (4) 目の和が奇数。 問題4: 図のグラフを、Aを出発点として一筆で書く方法は何通りあるか。 問題5: 正四面体の1つの面を下にしておき、1つの辺を軸として3回転がす。2回目以降、直前にあった場所を通らないようにするとき、次の数を求めよ。 (1) 転がし方の総数。 (2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数。 問題6: 梨4個, 柿2個, 桃2個から6個だけ取り出す方法は何通りあるか。ただし、取り出さない果物があってもよいものとする。 問題7: 次の場合、硬貨の一部または全部を使って、ちょうど支払うことができる金額は何通りあるか。 (1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚 (2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚 (3) 10円硬貨7枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚 問題8: 10円, 50円, 100円の3種類の硬貨を使ってちょうど250円支払うには、何通りの支払い方法があるか。ただし、どの硬貨も十分な枚数があり、使わない硬貨があってもよいものとする。

1. 問題の内容

複数の問題が含まれています。以下、個別に解答します。

問題1: $5 \cdot 2^3$ と $108$ の正の約数の個数と、その約数の総和を求める。

問題2: 2桁の自然数のうち、各位の数の積が偶数になる自然数は何個あるか。

問題3: 大中小3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合は何通りあるか。

(1) 目がすべて異なる。

(2) 少なくとも2個が同じ目。

(3) 目の積が3の倍数。

(4) 目の和が奇数。

問題4: 図のグラフを、Aを出発点として一筆で書く方法は何通りあるか。

問題5: 正四面体の1つの面を下にしておき、1つの辺を軸として3回転がす。2回目以降、直前にあった場所を通らないようにするとき、次の数を求めよ。

(1) 転がし方の総数。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数。

問題6: 梨4個, 柿2個, 桃2個から6個だけ取り出す方法は何通りあるか。ただし、取り出さない果物があってもよいものとする。

問題7: 次の場合、硬貨の一部または全部を使って、ちょうど支払うことができる金額は何通りあるか。

(1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚

(2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚

(3) 10円硬貨7枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚

問題8: 10円, 50円, 100円の3種類の硬貨を使ってちょうど250円支払うには、何通りの支払い方法があるか。ただし、どの硬貨も十分な枚数があり、使わない硬貨があってもよいものとする。

2. 解き方の手順

問題1:

$5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40$

約数の個数は $(1+1)(3+1) = 2 \cdot 4 = 8$ 個。

約数の総和は $(1+5)(1+2+2^2+2^3) = 6 \cdot (1+2+4+8) = 6 \cdot 15 = 90$

$108 = 2^2 \cdot 3^3$

約数の個数は $(2+1)(3+1) = 3 \cdot 4 = 12$ 個。

約数の総和は $(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3) = (1+2+4)(1+3+9+27) = 7 \cdot 40 = 280$

問題2:

2桁の自然数は10から99までの90個。

各位の積が奇数になるのは、十の位も一の位も奇数の場合。

十の位は1, 3, 5, 7, 9 の5通り。

一の位は1, 3, 5, 7, 9 の5通り。

積が奇数になるのは $5 \times 5 = 25$ 通り。

よって積が偶数になるのは $90 - 25 = 65$ 通り。

問題3:

(1) 大中小のサイコロの目がすべて異なるのは $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

(2) 少なくとも2個が同じ目の場合。

すべて同じ目の場合: 6通り。

2個が同じ目の場合: $6 \times 5 \times 3 = 90$ 通り。

(例えば、大と中が同じ目の場合、小の目は5通り。組み合わせは3通り)

合計 $6+90 = 96$ 通り

(3) 目の積が3の倍数になる場合。

全体から、3の倍数でない場合を引く。

3の倍数でない目の出方は、{1,2,4,5}の4通り。

$4 \times 4 \times 4 = 64$

全体の出方は $6 \times 6 \times 6 = 216$

目の積が3の倍数は $216 - 64 = 152$ 通り。

(4) 目の和が奇数になる場合。

(奇,奇,奇), (奇,偶,偶), (偶,奇,偶), (偶,偶,奇)

$3 \times 3 \times 3 + 3 \times 3 \times 3 + 3 \times 3 \times 3 + 3 \times 3 \times 3 = 27 + 27 + 27 + 27 = 108$

問題4:

Aから出ている線は3本なので、オイラーグラフではない。

しかし、Aから出ている線は3本なので、一筆書きが可能である。

Aから出て、Aに戻ってくるパターンを数える。

Aから出てループする３つのパターンを回る順番を考慮すると、3つのループを回る順番は$3! = 6$通り。各ループには2つの向きがあるので $2^3=8$通り。

ただし、図が対称であるため、回転で一致するものを区別しない。

3つのループの順番は固定されているとして、各ループの向きを考える。

3つのループの向きは8通りあるが、同じ向きの場合にはAから出てAに戻るので、それらの場合に帰着する。

答えは2通り。

問題5:

(1) 1回目は4つの面のうちどれでも良い。2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにするため、3通り。したがって、$4 \times 3 \times 3 = 36$

(2) 3回転後の正四面体の位置は、初期位置を含めて4箇所ある。3回転後にどの位置にいるか、ということは、3回転後の向きが決まれば一意に決まる。考えられる位置は4通り。

問題6:

梨を$x$個、柿を$y$個、桃を$z$個取り出すとすると、$x+y+z=6$ であり、$0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 2$。

$y' = 2-y, z' = 2-z$ とすると、$x + (2-y') + (2-z') = 6$, つまり、$x -y' - z' = 2$。

$x=2+y'+z'$. ここで $0 \le y' \le 2, 0 \le z' \le 2$. また $0 \le x \le 4$.

$x = 6 - (y+z)$

$x$が取りうる値は0から4なので、$y+z \ge 2$.

考えられる組み合わせは

(y,z) = (2,2), (2,1), (2,0), (1,2), (1,1), (1,0), (0,2), (0,1), (0,0)

それぞれについてxを計算する。

(2,2): x=2

(2,1): x=3

(2,0): x=4

(1,2): x=3

(1,1): x=4

(1,0): x=5 (不可)

(0,2): x=4

(0,1): x=5 (不可)

(0,0): x=6 (不可)

よって、xは5以下を満たす必要がある。

不可な組み合わせは、(1,0),(0,1),(0,0)

したがって、6つの組み合わせ。

(4個から2個を取り出さないとき、$x\le 4$を満たす。)

$(y,z)$ が $y\le 2$ と $z\le 2$ を満たす範囲で、 $x+y+z = 6$。

$(x, y, z)$ は $(4,2,0)$, $(4,1,1)$, $(4,0,2)$, $(3,2,1)$, $(3,1,2)$, $(2,2,2)$。

6通り。

問題7:

(1) 10円硬貨4枚 (0~40円), 50円硬貨1枚 (0,50円), 100円硬貨3枚 (0~300円)

$5 \times 2 \times 4 = 40$。ただし、すべて0円の場合を除くので、39通り。

(2) 10円硬貨2枚 (0~20円), 50円硬貨3枚 (0~150円), 100円硬貨3枚 (0~300円)

$3 \times 4 \times 4 = 48$。ただし、すべて0円の場合を除くので、47通り。

(3) 10円硬貨7枚 (0~70円), 50円硬貨1枚 (0,50円), 100円硬貨3枚 (0~300円)

$8 \times 2 \times 4 = 64$。ただし、すべて0円の場合を除くので、63通り。

問題8:

10円をx枚, 50円をy枚, 100円をz枚使うとすると、$10x + 50y + 100z = 250$。

$x + 5y + 10z = 25$

$10z \le 25$ なので $z \le 2$。

(i) $z = 0$ のとき $x+5y=25$.

$y = 0,1,2,3,4,5$ で $x = 25, 20, 15, 10, 5, 0$. よって6通り。

(ii) $z = 1$ のとき $x+5y=15$.

$y = 0,1,2,3$ で $x = 15, 10, 5, 0$. よって4通り。

(iii) $z = 2$ のとき $x+5y=5$.

$y = 0,1$ で $x = 5, 0$. よって2通り。

合計 $6 + 4 + 2 = 12$ 通り。

3. 最終的な答え

問題1:

$5 \cdot 2^3$ の約数の個数は 8個, 約数の総和は 90。

108の約数の個数は 12個, 約数の総和は 280。

問題2: 65個

問題3:

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 152通り

(4) 108通り

問題4: 2通り

問題5:

(1) 36通り

(2) 4通り

問題6: 6通り

問題7:

(1) 39通り

(2) 47通り

(3) 63通り

問題8: 12通り