問題は、与えられた種類の硬貨を組み合わせて支払える金額が何通りあるかを求める問題です。具体的には、 (1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合 (2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚の場合 (3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合 のそれぞれについて、可能な金額の組み合わせ数を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた種類の硬貨を組み合わせて支払える金額が何通りあるかを求める問題です。具体的には、

(1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合

(2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚の場合

(3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合

のそれぞれについて、可能な金額の組み合わせ数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合

10円硬貨の使い方は0枚から4枚の5通り。50円硬貨の使い方は0枚または1枚の2通り。100円硬貨の使い方は0枚から3枚の4通り。

したがって、単純に考えると$5 \times 2 \times 4 = 40$ 通り。

ただし、全部0枚の場合（0円）を除く必要があるため、

$5 \times 2 \times 4 - 1 = 39$ 通り。

(2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚の場合

10円硬貨の使い方は0枚から2枚の3通り。50円硬貨の使い方は0枚から3枚の4通り。100円硬貨の使い方は0枚から3枚の4通り。

したがって、単純に考えると $3 \times 4 \times 4 = 48$ 通り。

ただし、全部0枚の場合（0円）を除く必要があるため、

$3 \times 4 \times 4 - 1 = 47$ 通り。

ここで、50円玉2枚が100円玉1枚になることを考慮する。

10円2枚は合計20円にしかならないので、考慮する必要はない。

50円玉を2枚、100円玉を0枚で払う場合と、50円玉0枚、100円玉1枚で払う場合は同じ100円を払うことになるので、重複を考慮する。

50円玉を3枚使う場合は、100円玉1枚と50円玉1枚に置き換えることができる。

したがって、100円玉の枚数と50円玉の枚数を調整することで、金額の重複をなくす必要がある。

10円硬貨2枚までなので、最大20円。50円硬貨3枚までなので、最大150円。100円硬貨3枚までなので、最大300円。

合計で最大470円まで。

ここで、50円玉を2枚で100円として計算できるため、場合分けを行う。

10円の使い方は3通り（0枚、1枚、2枚）。

50円の使い方は4通り（0枚、1枚、2枚、3枚）。

100円の使い方は4通り（0枚、1枚、2枚、3枚）。

この組み合わせから、0円の場合を除くので、 $3\times4\times4 -1=47$ 通り。

しかし、50円を2枚使うと100円になるので、重複をなくす必要がある。

50円玉2枚 = 100円玉1枚

50円玉3枚 = 50円玉1枚 + 100円玉1枚

そこで、50円玉は0枚か1枚に限定して考える。

10円の使い方は3通り（0,1,2）。

50円の使い方は2通り（0,1）。

100円の使い方は4通り（0,1,2,3）。

$3\times2\times4=24$通り。

次に、50円玉を2枚か3枚使う場合を考える。

50円玉を2枚使う場合は、100円玉1枚として考えられる。

50円玉を3枚使う場合は、100円玉1枚と50円玉1枚として考えられる。

これらの場合分けを考慮する必要がある。

50円を0,1枚に限定しない場合、$3\times4\times4 - 1 = 47$

50円を0,1枚に限定した場合、$3\times2\times4 - 1 = 23$

この2つのうち、金額が重複する分を減らす必要がある。

(3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合

10円硬貨の使い方は0枚から7枚の8通り。50円硬貨の使い方は0枚または1枚の2通り。100円硬貨の使い方は0枚から3枚の4通り。

したがって、単純に考えると $8 \times 2 \times 4 = 64$ 通り。

ただし、全部0枚の場合（0円）を除く必要があるため、

$8 \times 2 \times 4 - 1 = 63$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 39通り

(2) 47通り (重複を考慮する必要があるため、再検討が必要)

(3) 63通り