正の整数 $X$, $Y$, $Z$ があり、$X + Y + Z = 10$ である。このとき、$Z$ の値を求める。 ア：$X$ と $Y$ の積は $15$ である。 イ：$Y$ と $Z$ の積は $10$ である。 アとイの情報のうち、どちらがあれば $Z$ の値を特定できるかを答える。

1. 問題の内容

正の整数 $X$, $Y$, $Z$ があり、$X + Y + Z = 10$ である。このとき、$Z$ の値を求める。

ア：$X$ と $Y$ の積は $15$ である。

イ：$Y$ と $Z$ の積は $10$ である。

アとイの情報のうち、どちらがあれば $Z$ の値を特定できるかを答える。

2. 解き方の手順

まず、アの情報だけから $Z$ を求めることができるか考える。

$X$ と $Y$ は正の整数で、$XY = 15$ かつ $X + Y + Z = 10$ を満たす。

$XY = 15$ を満たす正の整数の組み合わせは $(X, Y) = (1, 15), (3, 5), (5, 3), (15, 1)$ である。

$X + Y + Z = 10$ より、$Z = 10 - (X + Y)$ となる。

- $(X, Y) = (1, 15)$ のとき、$Z = 10 - (1 + 15) = -6$。これは正の整数ではないので不適。

- $(X, Y) = (3, 5)$ のとき、$Z = 10 - (3 + 5) = 2$。

- $(X, Y) = (5, 3)$ のとき、$Z = 10 - (5 + 3) = 2$。

- $(X, Y) = (15, 1)$ のとき、$Z = 10 - (15 + 1) = -6$。これは正の整数ではないので不適。

よって、$X = 3, Y = 5$ または $X = 5, Y = 3$ のとき、$Z = 2$ となる。アの情報だけでは $Z$ の値は一意に定まる。

次に、イの情報だけから $Z$ を求めることができるか考える。

$Y$ と $Z$ は正の整数で、$YZ = 10$ かつ $X + Y + Z = 10$ を満たす。

$YZ = 10$ を満たす正の整数の組み合わせは $(Y, Z) = (1, 10), (2, 5), (5, 2), (10, 1)$ である。

$X + Y + Z = 10$ より、$X = 10 - (Y + Z)$ となる。

- $(Y, Z) = (1, 10)$ のとき、$X = 10 - (1 + 10) = -1$。これは正の整数ではないので不適。

- $(Y, Z) = (2, 5)$ のとき、$X = 10 - (2 + 5) = 3$。

- $(Y, Z) = (5, 2)$ のとき、$X = 10 - (5 + 2) = 3$。

- $(Y, Z) = (10, 1)$ のとき、$X = 10 - (10 + 1) = -1$。これは正の整数ではないので不適。

よって、$Y = 2, Z = 5$ または $Y = 5, Z = 2$ となる。イの情報だけでは $Z$ の値は一意に定まらない。

したがって、アの情報だけで $Z$ が分かり、イの情報だけでは $Z$ は分からない。

3. 最終的な答え

A