$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ の形をしている二重根号を外すには、

$a \pm \sqrt{b} = (x \pm y)^2 = x^2 + y^2 \pm 2xy$

となるような $x$ と $y$ を見つけます。

この問題では、$12 - 6\sqrt{3}$ を $(x - y)^2$ の形にすることを考えます。

$12 - 6\sqrt{3} = 12 - 2 \cdot 3\sqrt{3} = 12 - 2\sqrt{27}$

ここで、$x^2 + y^2 = 12$ および $xy = \sqrt{27}$ つまり、$x^2y^2 = 27$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x^2$ と $y^2$ は、$t^2 - 12t + 27 = 0$ の解となります。

$(t-9)(t-3)=0$ より、$t = 9, 3$

したがって、$x^2 = 9$, $y^2 = 3$ または $x^2 = 3$, $y^2 = 9$ となります。

$x > y > 0$ と仮定すると、$x=3$ かつ $y = \sqrt{3}$ となります。

よって、$12 - 6\sqrt{3} = (3 - \sqrt{3})^2$ と書けます。

したがって、

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = |3-\sqrt{3}|$

$3 = \sqrt{9} > \sqrt{3}$ より、$3 - \sqrt{3} > 0$ なので、

$|3-\sqrt{3}| = 3-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{3}$