右の図のように奇数を並べた表がある。縦横2個ずつの数を線で囲み、枠の中の4つの数を小さい順に $a, b, c, d$ とする。 (1) $a = 41$ のとき、$a+b+c+d$ の値を求めよ。 (2) 枠をどこにとっても、$a+b+c+d$ の値は8の倍数になることを文字を用いて説明せよ。

1. 問題の内容

右の図のように奇数を並べた表がある。縦横2個ずつの数を線で囲み、枠の中の4つの数を小さい順に $a, b, c, d$ とする。

(1) $a = 41$ のとき、$a+b+c+d$ の値を求めよ。

(2) 枠をどこにとっても、$a+b+c+d$ の値は8の倍数になることを文字を用いて説明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $a=41$のとき、表から$b=43, c=53, d=55$ である。よって、

$a+b+c+d = 41 + 43 + 53 + 55$

これを計算すると、

$41+43+53+55 = 192$

(2) 表の並び方から、$a$ から $b$ は $2$ 大きい。また、$a$ から $c$ は $12$ 大きい。よって、$d$ は $a+14$ と表せる。

$a$ をある奇数とすると、$b = a+2, c = a+12, d = a+14$ と表せる。

これらの和を計算すると、

$a+b+c+d = a + (a+2) + (a+12) + (a+14) = 4a + 28 = 4(a+7)$

$a$ は奇数なので、$a+7$ は偶数になる。したがって、$a+7 = 2n$ (nは整数) と表せる。

$4(a+7) = 4(2n) = 8n$

よって、$a+b+c+d$ は8の倍数になる。

3. 最終的な答え

(1) 192

(2) （説明は上記参照）